写像空間のモデル

無限次元の空間を扱うのは難しい。有限次元のもので近似するのが普通である。 写像空間 \(\mathrm{Map}(X,Y)\) も, 近似により調べることが多い。

例えば, もし \(X\) が simplicial set の幾何学的実現 \(|K|\) になっていたら, \(|K|\) の skeleton による filtration から fibration の tower ができる。 別のいい方をすれば \(\mathrm{Map}(|K|,X)\) を cosimplicial space \(\mathrm{Map}(K,X)\) の \(\mathrm{Tot}\) として表わすことができる。 このことに最初に気がついたのは誰だろうか。 文献としては, D. Anderson の [And72] がある。

それと関係しているが, Chachólski と Scherer [CS08] は, ホモトピー代数的な視点からは, 写像空間は, ある homotopy colimit の right adjoint と考えるのが良いと主張している。

具体的なモデルとしては, ループ空間がよく研究されている。

• ループ空間の各種モデル

Lurie や Toën らの derived algebraic geometry では, ホモトピー論での, 様々な空間に対する構成が一般化されている。 ループ空間もその例外ではない。Ben-Zvi と Nadler の [BN12] では, James construction (reduced product) も登場する。

References

[And72]

D. W. Anderson. “A generalization of the Eilenberg-Moore spectral sequence”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), pp. 784–786. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1972-13034-9.

[BN12]

David Ben-Zvi and David Nadler. “Loop spaces and connections”. In: J. Topol. 5.2 (2012), pp. 377–430. arXiv: 1002.3636. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts007.

[CS08]

Wojciech Chachólski and Jerome Scherer. “Representations of spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 245–278. arXiv: math/0511577. url: https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.245.