Steerod algebra 上の unstable module の基本的な性質

Lannes の \(T\)-functor の理論の登場により, unstable \(\mathcal{A}\)-module の理解が飛躍的に進んだ。Steenrod 作用素については, もちろん [Ste62] が基本的な文献であるが, Lannes 以降のことについては, Schwartz の [Sch94] を見るとよい。

まずは定義を知らないとどうしようもない。

• unstable \(\mathcal{A}\)-module の定義
• unstable \(\mathcal{A}\)-algebra の定義

Unstable \(\mathcal{A}\)-module の圏は \(\mathcal{U}\) で, unstable \(\mathcal{A}\)-algebra の圏は \(\mathcal{K}\) で表わされることが多い。

• \(\mathcal{U}\) は Abelian category である。

\(\mathcal{U}\) は Abelian category なので, ホモロジー代数ができる。そのためには projective object や injective object がどういうものかを把握しておく必要がある。

• \(H^*(B\Z /p\Z ;\F _p)\) は \(\mathcal{U}\) の injective object である。
• 各 \(n > 0\) に対し, \(n\) 次元に生成元を一つ持つ \(\mathcal{U}\) の free object \(F(n)\) が存在する。

Free object \(F(n)\) は, 古くから知られている。Injective object が調べられるようになったのは Carlsson による Burnside ring に関する Segal予想 の研究 [Car83; Car84], そして H. Miller による Sullivan 予想の研究 [Mil84] に依る。

• Lannes の \(T\)-functor とその応用

Kuhn [Kuh14] によると, unstable \(\mathcal{A}\)-module の category の Krull filtration の \(T\)-functor による特徴付けは, 1990 年代の初期に Schwartz によって得られていたらしい。この Kuhn の論文は, unstable \(\mathcal{A}\)-module の category の Krull filtration の解説であり, Schwartz の特徴付けの証明も含まれている。

• unstable \(\mathcal{A}\)-module の category の Krull filtration

通常の Steenrod algebra 上の module の category へは, forgetful functor があるが, その left adjoint を destabilization functor という。

• destablization functor

その derived functor について最初に調べたのは, Zarati の thesis だろうか。出版されたものでは, Lannes と Zarati の [LZ87] がある。Powell [Pow14] によると, その derived functor を計算する chain complex は, \(p=2\) の場合は, Lannes と Zarati や Goerss [Goe86] により構成されている。Powell は odd prime の場合を考えている。 Powell は [Pow17] で, destabilization functor の derived functor を計算するための complex の functorial な構成について述べている。 Powell は iterated loop functor の derived functor を計算する complex についても述べている。

• iterated loop functor

Unstable \(\mathcal{A}\)-module や algebra をトポロジーに応用するためには, 代数的な対象と幾何学的な対象を繋ぐ道具が必要である。最も一般的な道具は unstable Adams spectral sequence と呼ばれるものである。

• unstable Adams spectral sequence

Unstable Adams spectral sequence の \(E_2\)-term は \(\mathcal{K}\) における \(\Hom \) の “derived functor” と同型になる。ただし \(\mathcal{K}\) は Abelian category ではないので, derived functor を定義するのは容易ではない。

References

[Car83]

Gunnar Carlsson. “G. B. Segal’s Burnside ring conjecture for \((\mathbf{Z}/2)^{k}\)”. In: Topology 22.1 (1983), pp. 83–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(83)90046-0.

[Car84]

Gunnar Carlsson. “Equivariant stable homotopy and Segal’s Burnside ring conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 120.2 (1984), pp. 189–224. url: http://dx.doi.org/10.2307/2006940.

[Goe86]

Paul G. Goerss. “Unstable projectives and stable \(\Ext \): with applications”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 53.3 (1986), pp. 539–561. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-53.3.539.

[Kuh14]

Nicholas J. Kuhn. “The Krull filtration of the category of unstable modules over the Steenrod algebra”. In: Math. Z. 277.3-4 (2014), pp. 917–936. arXiv: 1306.6072. url: https://doi.org/10.1007/s00209-014-1285-7.

[LZ87]

Jean Lannes and Saı̈d Zarati. “Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation”. In: Math. Z. 194.1 (1987), pp. 25–59. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01168004.

[Mil84]

Haynes Miller. “The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces”. In: Ann. of Math. (2) 120.1 (1984), pp. 39–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007071.

[Pow14]

Geoffrey M. L. Powell. “On the derived functors of destabilization at odd primes”. In: Acta Math. Vietnam. 39.2 (2014), pp. 205–236. arXiv: 1101.0226. url: https://doi.org/10.1007/s40306-014-0062-3.

[Pow17]

Geoffrey Powell. “On the derived functors of destabilization and of iterated loop functors”. In: Algebraic topology. Vol. 2194. Lecture Notes in Math. Springer, Cham, 2017, pp. 105–147. arXiv: 1503.08620.

[Sch94]

Lionel Schwartz. Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1994, pp. x+229. isbn: 0-226-74202-4; 0-226-74203-2.

[Ste62]

N. E. Steenrod. Cohomology operations. Lectures by N. E. Steenrod written and revised by D. B. A. Epstein. Annals of Mathematics Studies, No. 50. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. vii+139.