Vector bundle の moduli

代数的トポロジーでは, ある空間 \(X\) 上の \(n\)次元 vector bundle 全体 (の同型類の集合) を考えるときには, 分類空間 \(B\GL _{n}(\R )\) を用いて, \[ \mathrm{Vect}_{n}(X) \cong [X,B\GL _{n}(\R )] \] としてホモトピー集合として表す。 一方, 代数幾何学では, moduli space を構成して調べるようである。

何を見るのがよいのか, よく知らないが, Frank Neumann の本 [Neu09] は, ここから download できる。

代数的トポロジーの視点から調べたものとしては, 例えば, Harder と Narasimhan の [HN75] や Atiyah と Bott の [AB83] や Kirwan の [Kir86] がある。 Riemann面上の vector bundle の場合であるが。

これらは, cohomology を調べたものであるが, ホモトピー群を調べたものとして, 例えば, Daskalopoulos と Uhlenbeck の [DU95] がある。

References

[AB83]

M. F. Atiyah and R. Bott. “The Yang-Mills equations over Riemann surfaces”. In: Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 308.1505 (1983), pp. 523–615. url: http://dx.doi.org/10.1098/rsta.1983.0017.

[DU95]

Georgios D. Daskalopoulos and Karen K. Uhlenbeck. “An application of transversality to the topology of the moduli space of stable bundles”. In: Topology 34.1 (1995), pp. 203–215. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)E0014-B.

[HN75]

G. Harder and M. S. Narasimhan. “On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves”. In: Math. Ann. 212 (1974/75), pp. 215–248. url: https://doi.org/10.1007/BF01357141.

[Kir86]

Frances Kirwan. “On the homology of compactifications of moduli spaces of vector bundles over a Riemann surface”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 53.2 (1986), pp. 237–266. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-53.2.237.

[Neu09]

Frank Neumann. Algebraic stacks and moduli of vector bundles. Publicações Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications]. 27\({}^{\rm{o}}\) Colóquio Brasileiro de Matemática. [27th Brazilian Mathematics Colloquium]. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2009, p. 142. isbn: 978-85-244-0290-6.