Moduli Spaces of Metircs on Riemannian Manifolds

多様体上の特定の種類の metric の成す空間が, 様々な人により調べられている。 特に, よく調べられているのは, positive scalar curvature を持つ metric の成す空間である。

• space of positive scalar curvature metrics

Walsh の [Wal11; Wal14b] や Schick による survey [Sch14] があるが, それらの survey が出て以降も様々な結果が出ている。ホモトピー論的な性質も調べられている。

ホモトピー型を調べ始めたのは, Botvinnik ら [Bot+10] や Welsh [Wal13] なのだろうか。Botvinnik は, もっと前から positive scalar curvature metric を調べていた気がするが。

そのような moduli space が Hopf space の構造を持つことを発見したのは, Frenck [Fre21] が最初なのだろうか。Walsh [Wal14a] は, \(S^{n}\) の場合に Hopf space を retract として含むことを示している。また, \(n=3\) か \(n\ge 5\) のとき, \(n\)重ループ空間になることを示している。 更に, 多くの場合無限ループ空間になることを, Ebert と Randal-Williams [ER22] が示している。 彼等は cobordism category を使っている。

他には, nonnegative sectional curvature metric の空間 [BKS11] なども調べられている。

References

[BKS11]

Igor Belegradek, Slawomir Kwasik, and Reinhard Schultz. “Moduli spaces of nonnegative sectional curvature and non-unique souls”. In: J. Differential Geom. 89.1 (2011), pp. 49–85. arXiv: 0912.4869. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1324476751.

[Bot+10]

Boris Botvinnik, Bernhard Hanke, Thomas Schick, and Mark Walsh. “Homotopy groups of the moduli space of metrics of positive scalar curvature”. In: Geom. Topol. 14.4 (2010), pp. 2047–2076. arXiv: 0907.5188. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.2047.

[ER22]

Johannes Ebert and Oscar Randal-Williams. “The positive scalar curvature cobordism category”. In: Duke Math. J. 171.11 (2022), pp. 2275–2406. arXiv: 1904.12951. url: https://doi.org/10.1215/00127094-2022-0023.

[Fre21]

Georg Frenck. “\(H\)-space structures on spaces of metrics of positive scalar curvature”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 374.12 (2021), pp. 8989–9006. arXiv: 2004.01033. url: https://doi.org/10.1090/tran/8505.

[Sch14]

Thomas Schick. “The topology of positive scalar curvature”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Seoul 2014. Vol. II. Kyung Moon Sa, Seoul, 2014, pp. 1285–1307. arXiv: 1405.4220.

[Wal11]

Mark Walsh. “Metrics of positive scalar curvature and generalised Morse functions, Part I”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 209.983 (2011), pp. xviii+80. arXiv: 0811.1245. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-10-00622-8.

[Wal13]

Mark Walsh. “Cobordism invariance of the homotopy type of the space of positive scalar curvature metrics”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 141.7 (2013), pp. 2475–2484. arXiv: 1109.6878. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11647-3.

[Wal14a]

Mark Walsh. “\(H\)-spaces, loop spaces and the space of positive scalar curvature metrics on the sphere”. In: Geom. Topol. 18.4 (2014), pp. 2189–2243. arXiv: 1301.5670. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.2189.

[Wal14b]

Mark Walsh. “Metrics of positive scalar curvature and generalised Morse functions, Part II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 366.1 (2014), pp. 1–50. arXiv: 0910.2114. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-05715-7.