Differential Categories and Related Structures

Blute, Lucyshyn-Wright, O’Neil [BLO16], によると differential category は, Ehrhard and Regnier [ER03] の仕事に基き Blute, Cockett, Seely により [BCS06] で導入された比較的新しい 圏論的構造である。

2023年3月4日の category theory mailing list の “Differential Structures in Computer Science and Mathematics” という件名の投稿は, Mathematical Structures in Computer Science の特別号のアナウンスだったが, それによると Ehrhard と Regnier は, linear logic の多くのモデルが differential operator の概念を自然に持つことに気がついたようである。 それにより differential linear logic や differential \(\lambda \)-calculus や differential proof net などが導入されたようである。

Blute らの overview [Blu+20] がある。

その後, 様々な変種も導入されている。

• Cartesian differential category [BCS09; Cru17]
• Cartesian difference category [AL21; AL]
• Cartesian reverse differential category [Coc+20]
• monoidal reverse differential category [Cru+]

Garner と Lemay [GL21] によると Cartesian differential category は, ある種の enriched category とみなすことができるようである。

Cockett らにより調べられている圏論的構造としては, tangent category もあるが, Cartesian differential category と tangent category の関係は, Cockett と Cruttwell の [CC14] の §4 に書かれている。

• tangent category

References

[AL]

Mario Alvarez-Picallo and Jean-Simon Pacaud Lemay. Cartesian Difference Categories: Extended Report. arXiv: 2002.01091.

[AL21]

Mario Alvarez-Picallo and Jean-Simon Pacaud Lemay. “Cartesian difference categories”. In: Log. Methods Comput. Sci. 17.3 (2021), Paper No. 23, 48. arXiv: 2011.12600.

[BCS06]

R. F. Blute, J. R. B. Cockett, and R. A. G. Seely. “Differential categories”. In: Math. Structures Comput. Sci. 16.6 (2006), pp. 1049–1083. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0960129506005676.

[BCS09]

R. F. Blute, J. R. B. Cockett, and R. A. G. Seely. “Cartesian differential categories”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), pp. 622–672.

[BLO16]

Richard Blute, Rory B. B. Lucyshyn-Wright, and Keith O’Neill. “Derivations in codifferential categories”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 57.4 (2016), pp. 243–279. arXiv: 1505.00220.

[Blu+20]

R. F. Blute, J. R. B. Cockett, J.-S. P. Lemay, and R. A. G. Seely. “Differential categories revisited”. In: Appl. Categ. Structures 28.2 (2020), pp. 171–235. arXiv: 1806 . 04804. url: https://doi.org/10.1007/s10485-019-09572-y.

[CC14]

J. R. B. Cockett and G. S. H. Cruttwell. “Differential structure, tangent structure, and SDG”. In: Appl. Categ. Structures 22.2 (2014), pp. 331–417. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-013-9312-0.

[Coc+20]

Robin Cockett et al. “Reverse derivative categories”. In: 28th EACSL Annual Conference on Computer Science Logic. Vol. 152. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2020, Art. No. 18, 16. arXiv: 1910.07065.

[Cru+]

Geoffrey Cruttwell, Jonathan Gallagher, Jean-Simon Pacaud Lemay, and Dorette Pronk. Monoidal Reverse Differential Categories. arXiv: 2203.12478.

[Cru17]

G. S. H. Cruttwell. “Cartesian differential categories revisited”. In: Math. Structures Comput. Sci. 27.1 (2017), pp. 70–91. arXiv: 1208. 4070. url: https://doi.org/10.1017/S0960129515000055.

[ER03]

Thomas Ehrhard and Laurent Regnier. “The differential lambda-calculus”. In: Theoret. Comput. Sci. 309.1-3 (2003), pp. 1–41. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00392-X.

[GL21]

Richard Garner and Jean-Simon Pacaud Lemay. “Cartesian differential categories as skew enriched categories”. In: Appl. Categ. Structures 29.6 (2021), pp. 1099–1150. arXiv: 2002.02554. url: https://doi.org/10.1007/s10485-021-09649-7.