非可換ホモロジー代数

Abel圏ではない圏で, ホモロジー代数の類似を行ないたいことは, よくある。 もちろん, non-Abelian homological algebra という統一した理論があるわけではなく, 扱う category によって様々な試みがなされてきた。

例えば, Abel群を係数に持つ群のコホモロジーの元は, ある種の拡大の同値類とみなすことができるが, 拡大という概念はAbel群でなくても定義される。 そこでAbel群とは限らない群を係数にもつ群のコホモロジーを考える, というアイデアが生れた。 また空間 \(X\) 上の principal \(G\)-bundle の同型類は \(G\) を係数に持つ\(1\)次元の (非可換) コホモロジー \(H^1(X;G)\) の元とみなすのが自然である。

このような,「非可換ホモロジー」については, まず Giraud の [Gir71] を見るべきだろうか。決して読み易いとは言えないが。

Nuss と Wambst の [NW07] によれば, 群の cohomology の non-abelian version は, 元々 Lang と Tate が [LT58] でGalois群が代数群に作用している場合に定義したものを, Serre が [Ser68; Ser73] で, 一般の群がAbel群に作用している場合に formulate したものを言うらしい。 Nuss と Wambst は, [NW07; NW08] で, それらを Hopf algebra に一般化しようとしている。

可換環の圏でホモロジー代数を行なうために André と Quillen が考えたのが André-Quillen (co)homology と呼ばれるものである。

• André-Quillen (co)homology

その際, simplicial commutative algebra の圏の model structure が用いられているが, これは model category の理論がホモロジー代数の非可換化に使えることを意味する。 Quillen が model category を導入した動機の1つがこれだったようである。 その視点から, より一般に, Goerss と Schemmerhorn [GS07] が言うように, Abelianization functor の Quillen の意味の derived functor を homology と考えるべきなのだろう。

Ionescu は noncommutative bar construction という概念 [Ion] を用いて noncommutative cohomology を考えようとしている。それは, [Ion04] で導入された parity quasicomplex の概念に依っ ている。

Garkusha が [Gar07] で考えているのは, algebraic K-theory のような associative ring の圏の上の関手である。Algebraic K-theory に対し “Mayer-Vietoris” が低次元でしか存在しないことから, “homology” のようにふるまう関手の構成を見つけようということらしい。

Deitmer [Dei12] は, Belian category という Abelian category から, Abel群の圏による enrichment の仮定を除いた圏でのホモロジー代数を考えている。

References

[Dei12]

Anton Deitmar. “Belian categories”. In: Far East J. Math. Sci. (FJMS) 70.1 (2012), pp. 1–46. arXiv: 1105.5290.

[Gar07]

Grigory Garkusha. “Homotopy theory of associative rings”. In: Adv. Math. 213.2 (2007), pp. 553–599. arXiv: math/0608482. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.013.

[Gir71]

Jean Giraud. Cohomologie non abélienne. Berlin: Springer-Verlag, 1971, p. ix 467.

[GS07]

Paul Goerss and Kristen Schemmerhorn. “Model categories and simplicial methods”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 3–49. arXiv: math / 0609537. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08403.

[Ion]

Lucian M. Ionescu. The nonabelian bar resolution. arXiv: math/ 0108147.

[Ion04]

Lucian M. Ionescu. “Non-abelian cohomology via parity quasi-complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 49–58. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839544.

[LT58]

Serge Lang and John Tate. “Principal homogeneous spaces over abelian varieties”. In: Amer. J. Math. 80 (1958), pp. 659–684. url: https://doi.org/10.2307/2372778.

[NW07]

Philippe Nuss and Marc Wambst. “Non-abelian Hopf cohomology”. In: J. Algebra 312.2 (2007), pp. 733–754. arXiv: math/0511712. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.10.005.

[NW08]

Philippe Nuss and Marc Wambst. “Non-abelian Hopf cohomology. II. The general case”. In: J. Algebra 319.11 (2008), pp. 4621–4645. arXiv: 0706.0638. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.02.023.

[Ser68]

Jean-Pierre Serre. Corps locaux. Deuxième édition, Publications de l’Université de Nancago, No. VIII. Paris: Hermann, 1968, p. 245.

[Ser73]

Jean-Pierre Serre. Cohomologie Galoisienne. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 5. Cours au Collège de France, Paris, 1962–1963, Avec des textes inédits de J. Tate et de Jean-Louis Verdier, Quatrième édition. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. vii+217.