Tensor Triangular Geometry

Balmer [Bal05] は, symmetric monoidal structure を持つ triangulated category (tensor triangulated category) に対し ideal (thick \(\otimes \)-ideal) の概念を導入し, prime ideal の集合上に Zariski topology, そして structure sheaf を定義した。 この ringed space を, その tensor triangulated category の spectrum と呼び, それを調べることを tensor triangular geometry と言うらしい。 Balmer [Bal14; Bal16]は essentially small idempotent complete tensor triangulated category を tt-category と呼び, それを Balmer の spectrum を用いて調べることを tt-geometry と呼んでいる。

• tensor triangulated category の Balmer spectrum
• tt-category
• tt-geometry

Balmer 以前の quasicoherent sheaf の category から scheme を reconstruct する試みについては, Brandenburg の thesis [Bra] の Introduction にまとめられている。

この構成は, 代数幾何学での scheme と 有限群の表現の support variety を統合するものになっているようである。

概要については, Balmer の ICM 2010 での解説 [Bal10b] を見るとよい。より簡潔な introduction としては AMS Notices の2017年11月号の記事がある。 そこでは, 有限群の Burnside ring に対し Dress [Dre69] により定義された spectrum が warm-up example として挙げられている。 他にも, Balmer による thick tensor ideal の分類に関する survey [Bal20] や Stevenson の [Ste18] などがある。

ICM の講演録の冒頭の図によると, 他にも stable homotopy theory, motivic homotopy theory, noncommutative topology, symplectic topology という様々な分野に登場する tensor triangulated category を調べるのに使うことを意図しているようである。

具体的な tensor triangulated category としては, 以下のようなものが調べられている:

• Hopkins らの仕事は, spectrum の stable homotopy category の compact object の成す subcategory の Balmer spectrum を調べたもの, と解釈できる。 Balmer の [Bal10a] に tensor triangular geometry の言葉に翻訳したものがある。
• Balmer と Sanders の [BS17] で, 有限群 \(G\) に対する \(G\)-equivariant stable homotopy category の spectrum が調べられている。
• Greenlees [Gre19] は compact Lie 群 \(G\)に対し, rational \(G\)-equivariant stable homotopy category の Balmer spectrum を調べている。 通常の \(G\)-equivariant stable homotopy category は, Barthel, Greenlees, Hausmann [BGH20] により調べられている。
• Dell’Ambrogio と Tabuada [DT12] は, noncommutative motive の triangulated category の bootstrap category の Balmer spectrum などを調べている。
• Dell’Ambrogio の [Del10] は, \(KK\)-theory を用いた \(C^*\)-algebra の成す triangulated category を調べている。
• Boe, Kujawa, Nakano [BKN] は, quantum universal enveloping algebra の stable module category の Balmer spectrum を計算している。 その前に, [BKN17] で classical Lie superalgebra の場合を考えている。
• Gallauer [Gal18] は可換環上の filtered module の成す perfect complex の category の Balmer spectrum を計算している。
• Gallauer と de Souza [Gal19] は, ある場合の Tate motif の成す category の Balmer spectrum を計算している。

1元数体とfinite spectrum の stable homotopy category の関係を Balmer spectrum を用いて考えたものとして, Anevski の [Ane] がある。

実際に, 与えられた tensor triagulated category の spectrum を求めるのは容易ではないが, Balmer は [Bal10a] で unit object の endomorphism ring の通常の spectrum との比較を行なっている。もちろん, 一般にはその写像は isomorphism にはならないが, そのアイデアを発展させて, graded 2-ring の spectrum を定義し, それとの比較を行なおうというのが, Dell’Ambrogio と Stevenson の [DS14] である。 Sanders の [San13] では, より一般の comparison map が調べられている。

Tensor triangulated category は monoidal category なので, その中の monoid object を考えることができる。 Balmer [Bal16] は tt-category の separable commutative monoid object を tt-ring と呼び, その module の category の spectrum と元の tt-category の spectrum を比較している。

• tt-ring

Balmer の [Bal14]によると, tt-ring の module の category も tt-category の構造を持つようである。Balmer の学生の Bregjie Pauwels という人が, tt-ring に基づいた (quasi-)Galois theory の類似を考えている。これは, この研究集会での Neeman の最後の講演で知った。彼女のホームページから preprint が downloadできる。

Balmer の reconstruction theorem により, Noetherian scheme \(X\) は, その perfect complex の derived category から spectrum として復元できるが, そのことから scheme に対する不変量を tensor triangulated category の言葉で表そうとするのは, 自然はアイデアである。実際, Sebastian Klein [Kle16] は, Chow group の構成を与えている。Balmer の idea に基づくものであるらしいが。

Object だけでなく morphism も考ようというのは自然な idea である。Brandenburg は, thesis [Bra] で morphism も reconstruct できる scheme を tensorial と呼んでいる。 そのような流れで, Chirvasitu ら [BC14; CJ13] は, symmetric closed monoidal presentable category を commutative \(2\)-ring と呼び, tensor triangular geometry により対応する幾何学的対象を affine \(2\)-scheme と呼んでいる。

Balmer, Krause, Stevenson [BKS19] は, 代数幾何 (可換環) との類似で, localize して 局所環を作ってから residue field を取る, という操作をするためには, 何が必要かを考察している。特に tt-geometry で体に対応するものが何か, を考えている。

• tensor triangular field あるいは tt-field

Tensor triangular geometry での residue field の例としては, [BC21] を見るとよい。 安定ホモトピー圏の場合, Morava \(K\)-theory が residue field として現れるようである。

Nakano, Vashaw, Yakimov [NVY] による noncommutative version も登場した。 Mallick と Ray [MR] が point-free approach を提案している。

• noncommutative tensor triangular geometry

Balmer spectrm 以外にも Balchin と Stevenson [BS] による smashing spectrum や big spectrum もある。

References

[Ane]

Stella Anevski. Reconstructing the spectrum of \(\F _1\) from the stable homotopy category. arXiv: 1103.1235.

[Bal05]

Paul Balmer. “The spectrum of prime ideals in tensor triangulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 588 (2005), pp. 149–168. arXiv: math/0409360. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2005.2005.588.149.

[Bal10a]

Paul Balmer. “Spectra, spectra, spectra—tensor triangular spectra versus Zariski spectra of endomorphism rings”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.3 (2010), pp. 1521–1563. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1521.

[Bal10b]

Paul Balmer. “Tensor triangular geometry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010, pp. 85–112.

[Bal14]

Paul Balmer. “Splitting tower and degree of tt-rings”. In: Algebra Number Theory 8.3 (2014), pp. 767–779. arXiv: 1309.1802. url: https://doi.org/10.2140/ant.2014.8.767.

[Bal16]

Paul Balmer. “Separable extensions in tensor-triangular geometry and generalized Quillen stratification”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 49.4 (2016), pp. 907–925. arXiv: 1309 . 1808. url: https://doi.org/10.24033/asens.2298.

[Bal20]

Paul Balmer. “A guide to tensor-triangular classification”. In: Handbook of homotopy theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser. CRC Press, Boca Raton, FL, 2020, pp. 145–162. arXiv: 1912.08963.

[BC14]

Martin Brandenburg and Alexandru Chirvasitu. “Tensor functors between categories of quasi-coherent sheaves”. In: J. Algebra 399 (2014), pp. 675–692. arXiv: 1202.5147. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.09.050.

[BC21]

Paul Balmer and James C. Cameron. “Computing homological residue fields in algebra and topology”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 149.8 (2021), pp. 3177–3185. arXiv: 2007 . 04485. url: https://doi.org/10.1090/proc/15412.

[BGH20]

Tobias Barthel, J. P. C. Greenlees, and Markus Hausmann. “On the Balmer spectrum for compact Lie groups”. In: Compos. Math. 156.1 (2020), pp. 39–76. arXiv: 1810 . 04698. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x19007656.

[BKN]

Brian D. Boe, Jonathan R. Kujawa, and Daniel K. Nakano. Tensor Triangular Geometry for Quantum Groups. arXiv: 1702.01289.

[BKN17]

Brian D. Boe, Jonathan R. Kujawa, and Daniel K. Nakano. “Tensor triangular geometry for classical Lie superalgebras”. In: Adv. Math. 314 (2017), pp. 228–277. arXiv: 1402 . 3732. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.04.022.

[BKS19]

Paul Balmer, Henning Krause, and Greg Stevenson. “Tensor-triangular fields: ruminations”. In: Selecta Math. (N.S.) 25.1 (2019), Paper No. 13, 36. arXiv: 1707.02167. url: https://doi.org/10.1007/s00029-019-0454-2.

[Bra]

Martin Brandenburg. Tensor categorical foundations of algebraic geometry. arXiv: 1410.1716.

[BS]

Scott Balchin and Greg Stevenson. Big categories, big spectra. arXiv: 2109.11934.

[BS17]

Paul Balmer and Beren Sanders. “The spectrum of the equivariant stable homotopy category of a finite group”. In: Invent. Math. 208.1 (2017), pp. 283–326. arXiv: 1508 . 03969. url: https://doi.org/10.1007/s00222-016-0691-3.

[CJ13]

Alex Chirvasitu and Theo Johnson-Freyd. “The fundamental pro-groupoid of an affine 2-scheme”. In: Appl. Categ. Structures 21.5 (2013), pp. 469–522. arXiv: 1105.3104. url: https://doi.org/10.1007/s10485-011-9275-y.

[Del10]

Ivo Dell’Ambrogio. “Tensor triangular geometry and \(KK\)-theory”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 319–358. arXiv: 1001.2637.

[Dre69]

Andreas Dress. “A characterisation of solvable groups”. In: Math. Z. 110 (1969), pp. 213–217.

[DS14]

Ivo Dell’Ambrogio and Greg Stevenson. “Even more spectra: tensor triangular comparison maps via graded commutative 2-rings”. In: Appl. Categ. Structures 22.1 (2014), pp. 169–210. arXiv: 1204.2185. url: https://doi.org/10.1007/s10485-012-9296-1.

[DT12]

Ivo Dell’Ambrogio and Gonçalo Tabuada. “Tensor triangular geometry of non-commutative motives”. In: Adv. Math. 229.2 (2012), pp. 1329–1357. arXiv: 1104.2761. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.11.005.

[Gal18]

Martin Gallauer. “Tensor triangular geometry of filtered modules”. In: Algebra Number Theory 12.8 (2018), pp. 1975–2003. arXiv: 1708. 00833. url: https://doi.org/10.2140/ant.2018.12.1975.

[Gal19]

Martin Gallauer. “tt-geometry of Tate motives over algebraically closed fields”. In: Compos. Math. 155.10 (2019), pp. 1888–1923. arXiv: 1708.00834. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x19007528.

[Gre19]

J. P. C. Greenlees. “The Balmer spectrum of rational equivariant cohomology theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.7 (2019), pp. 2845–2871. arXiv: 1706.07868. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.10.001.

[Kle16]

Sebastian Klein. “Chow groups of tensor triangulated categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.4 (2016), pp. 1343–1381. arXiv: 1301. 0707. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.09.006.

[MR]

Vivek Mohan Mallick and Samarpita Ray. Noncommutative tensor triangulated categories and coherent frames. arXiv: 2204.08794.

[NVY]

Daniel K. Nakano, Kent B. Vashaw, and Milen T. Yakimov. Noncommutative tensor triangular geometry. arXiv: 1909.04304.

[San13]

Beren Sanders. “Higher comparison maps for the spectrum of a tensor triangulated category”. In: Adv. Math. 247 (2013), pp. 71–102. arXiv: 1302.4521. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.029.

[Ste18]

Greg Stevenson. “A tour of support theory for triangulated categories through tensor triangular geometry”. In: Building bridges between algebra and topology. Adv. Courses Math. CRM Barcelona. Birkhäuser/Springer, Cham, 2018, pp. 63–101. arXiv: 1601.03595.