Ringed Spaces and Ringed Sites

空間 \(X\) とその上の可換環の層 \(\cO _{X}\) の組を ringed space という。 各点での stalk が局所環になるとき, locally ringed space という。

• ringed space
• locally ringed space

代表的なのは scheme であり, 多くの 代数幾何学の教科書には, その解説がある。 また Kashiwara と Schapira の本 [KS06] にもまとめられている。 最近では, Stacks project の §6.25 を読むのが良いのだろうか。

層の概念は, Grothendieck topology を持つ category, すなわち site 上に拡張できるので, ringed site の概念がある。

• ringed site

Lurie [Lur] は, ringed space や locally ringed space の一般化として geometry という概念を導入している。 あまり良い名前とは思えないが。

• Lurie の geometry

別の方向での用途としては, Brett Parker [Par12] による exploded space がある。彼の exploded manifold の理論の基礎として考えられた。

• exploded space

空間が finite space の場合について, Sancho de Salas [San; San18] がそのホモトピー論を調べている。

• ringed finite space

Ringed site の場合は, Wu と Xu [WX23] により調べられている。

• ringed finite site

References

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[Lur]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry V: Structured Spaces. arXiv: 0905.0459.

[Par12]

Brett Parker. “Exploded manifolds”. In: Adv. Math. 229.6 (2012), pp. 3256–3319. arXiv: 0910.4201. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.02.005.

[San]

Fernando Sancho de Salas. Ringed Finite Spaces. arXiv: 1409.4574.

[San18]

Fernando Sancho de Salas. “Homotopy of finite ringed spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.3 (2018), pp. 481–501. arXiv: 1511.06284. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0190-2.

[WX23]

Mawei Wu and Fei Xu. “Skew category algebras and modules on ringed finite sites”. In: J. Algebra 631 (2023), pp. 194–217. arXiv: 2207.04731. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2023.04.026.