|
位相空間の\(K\)理論の変種は, 様々なものが定義されている。 まず, \(K\) 理論の周期性に着目し, 安定ホモトピー論でのより高次の周期性に対応するものとして,
\(v_n\)-periodic な cohomology theory が考えられる。
より幾何学的な構成を持つものも多いが, 最近では 数理物理に使われているものが多い。 物理に起源を持つものもある。 例えば,
以下のようなものである。
Gomi の [Gom15] によると, \(K_{\pm }\) は, Witten の [Wit98] で導入されたもののようである。Atiyah と Hopkins の
[AH04] も見るとよい。
\(\mathrm{KO}\)-theory と complex \(K\)-theory と self-conjugate \(K\)-theory を統合したものとして united \(K\)-theory
というものもある。Bousfield により定義されたものである。Bousfield は, [Bou08] では, self-conjugate \(K\)-theory
の部分が無いものを考えている。
-
united \(K\)-theory
-
\(CRT\)-module
\(CRT\)-module というのは, Bousfield が [Bou90]で定義した, united \(K\)-theory functor
の値域として考えるべきものである。
底空間が smooth manifold の時, flat connection を持つ smooth vector bundle から作られる flat
\(K\)-theory というものもある。Berthomieu の [Ber] には, flat \(K\)-theory の他にも relative \(K\)-theory や
transgressive \(K\)-theory と言った変種が書いてある。
Adem らは, [AC07; ACT12] などの Lie 群の中の commuting elements の成す空間の研究を元に,
Bott periodicity space に infinite loop space としての filtration を定義した。\((q+1)\) 番目が表現する
cohomology theory は, [Ade+17] で \(q\)-nilpotent \(K\)-theory と呼ばれている。 最初のもの, つまり
\(2\)-nilpotent \(K\)-theoryは, Adem とGómez が [AG15] で導入した commutative \(K\)-theory
に一致している。
- commutative \(K\)-theory
- \(q\)-nilpotent \(K\)-theory
Commutative \(K\)-theory spectrum は, Gritschacher [Gri] により調べられている。
\(C^*\)-algebra の視点から, Emerson と Meyer は [EM09] で representable \(K\)-theory という
groupoid equivariant \(KK\)-theory で定義された変種を考えている。Locally compact space の場合は,
vector bundle から定義されるのは, representable \(K\)-theory の元であり, \(C^*\)-algebra を用いた \(K\)-theory
の元ではないと言っている。
- representable \(K\)-theory
Emerson と Meyer は, equivariant representable \(K\)-theory がある種の Fredholm operator
の空間への homotopy 集合として表現できることを示している。
Bounded cohomology の \(K\)-theory 版を考えている人もいる。Fowler と Ogle の [FO] である。
\(C^*\)-algebra の \(K\)-theory は, 位相空間の \(K\)-theory の非可換空間への拡張とみなすことができる。 ところが,
非可換空間のモデルとしては, 他にも様々な提案がされている。 代数幾何学の視点からは, dg category や \(A_{\infty }\)-category
を非可換空間のモデルとする提案がされているが, それらに対し位相空間の \(K\)-theory を拡張しようという試みもなされている。Anthony
Blanc の [Bla16] など。
- dg category の topological \(K\)-theory
References
-
[AC07]
-
Alejandro Adem and Frederick R.
Cohen. “Commuting elements and spaces of homomorphisms”. In:
Math. Ann. 338.3 (2007), pp. 587–626. arXiv: math/0603197. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00208-007-0089-z.
-
[ACT12]
-
Alejandro Adem, Frederick R. Cohen, and Enrique Torres Giese.
“Commuting elements, simplicial spaces and filtrations of classifying
spaces”. In: Math. Proc.
Cambridge Philos. Soc. 152.1 (2012), pp. 91–114. arXiv: 0901.0137.
url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004111000570.
-
[Ade+17]
-
Alejandro Adem, José Manuel Gómez, John A. Lind, and Ulrike
Tillmann. “Infinite loop spaces and nilpotent K-theory”. In: Algebr.
Geom. Topol. 17.2 (2017), pp. 869–893. arXiv: 1503.02526. url:
https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.869.
-
[AG15]
-
Alejandro Adem and
José Manuel Gómez. “A classifying space for commutativity in Lie
groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.1 (2015), pp. 493–535. arXiv:
1309.0128. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.493.
-
[AH04]
-
Michael Atiyah and Michael Hopkins. “A variant of \(K\)-theory:
\(K_{\pm }\)”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308.
London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 2004, pp. 5–17. arXiv: math/0302128. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.004.
-
[Ati66]
-
M. F. Atiyah. “\(K\)-theory and reality”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser.
(2) 17 (1966), pp. 367–386. url:
https://doi.org/10.1093/qmath/17.1.367.
-
[Ber]
-
Alain Berthomieu. Direct image for multiplicative and relative
\(K\)-theories from transgression of the families index theorem, part 1.
arXiv: math/0611281.
-
[Bla16]
-
Anthony Blanc. “Topological K-theory of complex noncommutative
spaces”. In: Compos. Math. 152.3 (2016), pp. 489–555. arXiv:
1211.7360. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007617.
-
[Bou08]
-
A. K. Bousfield. “Kunneth theorems and unstable operations in
2-adic \(KO\)-cohomology”. In: J. K-Theory 1.3 (2008), pp. 395–430. url:
http://dx.doi.org/10.1017/is007011015jkt014.
-
[Bou90]
-
A. K. Bousfield. “A classification of
\(K\)-local spectra”. In: J. Pure Appl. Algebra 66.2 (1990), pp. 121–163.
url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(90)90082-S.
-
[EM09]
-
Heath Emerson and Ralf Meyer. “Equivariant representable
K-theory”. In: J. Topol. 2.1 (2009), pp. 123–156. arXiv: 0710.1410.
url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtp003.
-
[FO]
-
J. Fowler and C. Ogle. Bounded homotopy theory and the \(K\)-theory of
weighted complexes. arXiv: 1102.0497.
-
[Gom15]
-
Kiyonori Gomi. “A variant of \(K\)-theory and topological T-duality for
real circle
bundles”. In: Comm. Math. Phys. 334.2 (2015), pp. 923–975. arXiv:
1310.8446. url: https://doi.org/10.1007/s00220-014-2153-3.
-
[Gri]
-
Simon Gritschacher. The spectrum for commutative complex \(K\)-theory.
arXiv: 1611.03644.
-
[Kit09]
-
Nitu Kitchloo. “Dominant \(K\)-theory and
integrable highest weight representations of Kac-Moody groups”. In:
Adv. Math. 221.4 (2009), pp. 1191–1226. arXiv: 0710.0167. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.02.006.
-
[NT04]
-
Victor Nistor and Evgenij Troitsky. “An index for gauge-invariant
operators and the Dixmier-Douady
invariant”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.1 (2004), pp. 185–218.
url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03370-1.
-
[NT06]
-
Victor Nistor and Evgenij Troitsky. “The Thom isomorphism in
gauge-equivariant \(K\)-theory”. In: \(C^*\)-algebras and elliptic theory. Trends
Math. Birkhäuser, Basel, 2006, pp. 213–245. arXiv: math/0506408.
url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-7687-1_11.
-
[Wit98]
-
Edward Witten. “D-branes and \(K\)-theory”. In: J. High Energy Phys. 12
(1998), Paper 19, 41 pp. (electronic). arXiv: hep-th/9810188. url:
http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/1998/12/019.
|
