(∞,2)-Categories

通常の圏論では, 高次の圏の中でも, \(2\)-category や bicategory が最も良く研究されているように, \(n\ge 2\) の \((\infty ,n)\)-category の中でも \((\infty ,2)\)-category が最も良く研究されている。

\((\infty ,1)\)-category には様々なモデルがあるが, \((\infty ,2)\)-category には, 更に多くのモデルがある。 その全体像をつかむには, Gagna, Harpaz, Lanari の [GHL22] の Introduction にある図が良い。 彼等は, 知られている全てのモデルが同値であることを示すための, 最後の同値を示した, と言っている。

最初に読むには, どれがいいのだろうか。やはり Lurie の [Lur] がいいのだろうか。あるいは, Gaitsgory と Rozenblyum の [GR17] の appendix とか。

この MathOverflow の質問で, 何に使えるかが聞かれているが, 回答として書かれているのは, topological field theory のみである。

考えるべきは, まず通常の bicategory に関して成り立つことがどこまで成り立つかであるが, 様々な人が様々なことを調べている。目にしたものを上げると以下のようになる。

• Gray tensor product [Hau21; GHL21]
• fibration [GHLb; GHLa]
• Grothendieck construction [GS]
• Quillen の theorem A [AS22]
• pasting theorem [Hac+23]

References

[AS22]

Fernando Abellán García and Walker H. Stern. “Theorem A for marked 2-categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.9 (2022), Paper No. 107040, 43. arXiv: 2002 . 12817. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107040.

[GHLa]

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. Cartesian Fibrations of \((\infty ,2)\)-categories. arXiv: 2107.12356.

[GHLb]

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. Fibrations and lax limits of \((\infty ,2)\)-categories. arXiv: 2012.04537.

[GHL21]

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. “Gray tensor products and Lax functors of \((\infty ,2)\)-categories”. In: Adv. Math. 391 (2021), Paper No. 107986, 32. arXiv: 2006 . 14495. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107986.

[GHL22]

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. “On the equivalence of all models for \((\infty ,2)\)-categories”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 106.3 (2022), pp. 1920–1982. arXiv: 1911.01905. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12614.

[GR17]

Dennis Gaitsgory and Nick Rozenblyum. A study in derived algebraic geometry. Vol. II. Deformations, Lie theory and formal geometry. Vol. 221. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017, pp. xxxv+436. isbn: 978-1-4704-3570-7. url: https://doi.org/10.1090/surv/221.2.

[GS]

Fernando Abellán García and Walker H. Stern. 2-Cartesian fibrations II: Higher cofinality. arXiv: 2201.09589.

[Hac+23]

Philip Hackney, Viktoriya Ozornova, Emily Riehl, and Martina Rovelli. “An \((\infty ,2)\)-categorical pasting theorem”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 376.1 (2023), pp. 555–597. arXiv: 2106.03660. url: https://doi.org/10.1090/tran/8783.

[Hau21]

Rune Haugseng. “On lax transformations, adjunctions, and monads in \((\infty ,2)\)-categories”. In: High. Struct. 5.1 (2021), pp. 244–281. arXiv: 2002.01037.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.