Riemann-Roch Theorem by Hochschild Homology

Petit [Pet13] によると, 最初に Hochschild homology を使って smooth projective variety に対する Riemann-Roch の定理を記述しようとしたのは, Markarian [Mar09] である。 この方向は, Caldararu と Willerton [CW10; Căl05] により調べられている。

Kashiwara と Schapira [KS12] は, 彼等の deformation quantization module の枠組みでの Riemann-Roch の定理のために Hochschild homology を用いている。

Dg algebra に対しては, Shklyarov [Shk; Shk13] が classical Riemann-Roch theorem の一般化となっているものを証明している。 Petit [Pet13] によるものもある。

Cisinski と Tabuada [CT14] noncommutative motive の視点から一般化を証明している。

Bicategory の視点からの一般化は, Campbell と Ponto [CP23] により得られている。

References

[Căl05]

Andrei Căldăraru. “The Mukai pairing. II. The Hochschild-Kostant-Rosenberg isomorphism”. In: Adv. Math. 194.1 (2005), pp. 34–66. arXiv: math/0308080. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.05.012.

[CP23]

Jonathan A. Campbell and Kate Ponto. “Riemann-Roch theorems in monoidal 2-categories”. In: Q. J. Math. 74.3 (2023), pp. 1119–1163. arXiv: 2203 . 04351. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haad003.

[CT14]

Denis-Charles Cisinski and Gonçalo Tabuada. “Lefschetz and Hirzebruch-Riemann-Roch formulas via noncommutative motives”. In: J. Noncommut. Geom. 8.4 (2014), pp. 1171–1190. arXiv: 1111.0257. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/183.

[CW10]

Andrei Căldăraru and Simon Willerton. “The Mukai pairing. I. A categorical approach”. In: New York J. Math. 16 (2010), pp. 61–98. arXiv: 0707.2052. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2010/16_61.html.

[KS12]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Deformation quantization modules”. In: Astérisque 345 (2012), pp. xii+147. arXiv: 1003.3304.

[Mar09]

Nikita Markarian. “The Atiyah class, Hochschild cohomology and the Riemann-Roch theorem”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 79.1 (2009), pp. 129–143. arXiv: math / 0610553. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/jdn064.

[Pet13]

François Petit. “A Riemann-Roch theorem for DG algebras”. In: Bull. Soc. Math. France 141.2 (2013), pp. 197–223. arXiv: 1004.0361. url: https://doi.org/10.24033/bsmf.2646.

[Shk]

D. Shklyarov. On Serre duality for compact homologically smooth DG algebras. arXiv: math/0702590.

[Shk13]

D. Shklyarov. “Hirzebruch-Riemann-Roch-type formula for DG algebras”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 106.1 (2013), pp. 1–32. arXiv: 0710.1937. url: https://doi.org/10.1112/plms/pds034.