Braid群の作用する圏

Khovanov と Thomas [KT07] によると, braid 群の圏への作用を最初に考えたのは, Deligne [Del97] らしい。Deligne は, braid群の各生成元に対し category \(C\) の endofunctor が与えられているときに, それがbraid群の作用を定義するための条件を考えている。

最近では, 特にtriangluated category への作用を様々な場面で目にするようになった。 Khovanov と Thomas の [KT07] の最初に, 主要な例として次が挙げられている。

• spherical object で生成されているもの ([KS02; ST01; RZ03; HK01])
• flag variety 上のベクトル空間の層の derived category への作用やそれに関連したもの ([Rou; Str])
• matrix factorization からできる chain complex の圏への作用 [KR08]
• symplectic多様体の Fukaya category への作用 [SS06]
• quiver variety や他の Calabi-Yau 多様体の上の coherent sheaf の derived category への作用

Seidel と Thomas による [ST01] での結果は, Szendroi により [Sze; Sze03] でより一般の Artin群に拡張されている。 また Seidel と Thomas の K3 surface を Calabi-Yau threefold に変えた場合も考えられている。

Spherical twist の一般化として, Grant [Gra13; Gra15] は periodic twist というものを考えている。

Khovanov と Thomas [KT07] は, braid群の元を object とし braid cobordism を morphism とする圏を定義し, braid 群の triangulated category への作用の主要な例は, この圏の projective representation に拡張する, と主張している。

• braid cobordism category

直接用いているのは, braid cobordism category と同値な, Carter と Saito [CS96] による combinatorial version であるが。この braid cobordism category は, braid群の categorification と考えることができる。 このことから, Khovanov と Thomas は, braid群の複素表現の categorification を定義している。

Categorification という視点からは, braid 群の圏への作用を見直したものとしては, Rouquier の [Rou] もある。Coxeter system に対する braid群の categorification の候補を構成している。 それが本当にbraid群の categorification になっていることが分かっているの は, \(A_n\) の場合だけであるが。この状況は Bridgeland の triangulated category の stability condition の空間に関する予想と酷似している。 \(A_n\) の場合が Khovanov と Seidel の結果から従うのも同様である。 Khovanov と Thomas [KT07] は, 彼等の braid cobordism category と Rouquier の categorification の関係についても述べている。

Rouquier の結果で重要な役割を果しているのが, Soergel bimodule である。 Khovanov は [Kho07] で Soergel bimodule の Hochschild homology を考えることにより, triply-graded link homology の構成を改良している。それにより Hecke algebra に関する Kazhdan-Lustig の結果との関係を述べている。

他には Mazorchuk と Stroppel の [MS] がある。 Bernstein-Gel’fand-Gel’fand の圏 \(\mathcal{O}\)への作用である。 そこには更にいくつかの例が挙げられている。

References

[CS96]

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[Del97]

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[Gra13]

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[HK01]

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[Kho07]

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[KR08]

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[SS06]

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[ST01]

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[Str]

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[Sze]

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[Sze03]

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