圏の局所化

圏 \(\bm {C}\) において, morphism の集合 (class) \(W\) に含まれる morphism の形式的な逆を付け加え, 圏 \(\bm {C}[W^{-1}]\) を作りたいということはよくある。 例えば次のような場合である。

• model category の homotopy category の構成
• Abelian category などの derived category の構成
• monoid の group completion や small category の groupoid completion

何となく \(\Z \) に \(\frac {1}{p}\) を付け加えて \(\Z [\frac {1}{p}]\) を作る操作に似ているので, Gabriel と Zisman の本 [GZ67] では category of fraction と呼ばれている。まず最初は Fritz の [Fri] を読んでみるのがよいだろう。 Toën の dg category についての lecture note [Toë11] や Krause の triangulated category の localization に関する note [Kra10] の最初の方にもまとめられている。

Small category から groupoid を作る操作は, groupoid of fractions とか enveloping groupoid などという名前でも呼ばれることが多いようである。 Dehornoy らの [Deh+15] の Chapter III の section 3 を見るのが良いと思う。

\(\bm {C}[W^{-1}]\) は functor \(L:\bm {C}\to \bm {C}[W^{-1}]\) の持つ universal property で定義 (特徴付け) される。つまり, \(W\) を isomorphism にうつす functor \(F:\bm {C}\to \bm {D}\) が与えられたとき, 図式 \[ \xymatrix { \bm {C} \ar [dr]_{F} \ar [rr]^{L} & & \bm {C}[W^{-1}] \ar @{.>}[dl]^{\exists \widetilde {F}} \\ & \bm {D} & } \] を「可換」にするような \(\widetilde {F}\) が「一意的」に存在する, いう感じである。

ただ, この可換性や一意性の意味は文脈による。それは圏全体が \(2\)-category になるからであり, 例えば, strict に図式が可換になることよりも, up to natural isomorphism で可換になる, という条件にする方が融通がきいて良い場合が多い。 また, その natural isomorphism にも uniqueness を要求することもある。 このような, localization の定義の違いについては, Govzmann, Pištalo, Poncin の [GPP] を見るとよい。

\(\bm {C}[W^{-1}]\) を作るには, \(\bm {C}\) の morphism と \(W\) の morphism を形式的に逆向きにした morphism からできる quiver で生成された free category (path category) を適当に割ればよいが, それだと morphism が具体的にどういう形をしているのかがよく分からない。そこで Gabriel と Zisman は, \(\bm {C}[W^{-1}]\) の morphism が \(s\in W\) により \(c' \larrow {s} c \rarrow {f} d\) と表せるための条件を考えた。

• \(W\) が calculus of left fraction を持つこと
• \(W\) が calculus of right fraction を持つこと
• roof
• \(W\) が calculus of left fraction を持つときの \(\bm {C}[W^{-1}]\) の構成
• \(W\) が calculus of right fraction を持つときの \(\bm {C}[W^{-1}]\) の構成

Gel\('\)fand と Manin の本 [GM03] では, localizing system という言葉が使われている。

Kahn と Sujatha は [KS07] で functor \(T : \bm {C} \to \bm {C}'\) が category の同値 \[ T : \bm {C}[W^{-1}] \longrightarrow \bm {C}'[(W')^{-1}] \] を誘導するための条件について考察している。

圏の局所化を考えるときに, ホモトピー論的な視点で考えた方がよいということを発見したのは, Dwyer と Kan である。彼等は, [DK80b] で, simplicial category \(L_{W}(\bm {C})\) を構成し \[ \pi _0(L_{W}(\bm {C})) \cong \bm {C}[W^{-1}] \] となることを示している。また [DK80a] で, その改良版として hammock localization や colimit による simplicial localization を得ている。

• Dwyer-Kan の simplicial localization
• hammock localization

そのアイデアは, Drinfel\('\)d による dg category の quotient の構成 [Dri04] にも使われ (現われ?) ている。

モデル圏での hammock localization と left あるいは right homotopy との関係は Raventós [Rav15] により調べられている。

より 高次な圏でも, 同様のことが考えられている。 例えば, Baas, Dundas, Richter, Rognes [Baa+13] は, elliptic cohomology の幾何学的な構成のために, 二つの monoidal structure を持つ category (rig category あるいは bimonoidal category) の一つの monoidal structure に関する “group completion” を考えている。Monoidal category は object が一つの bicategory と考えることができるので, monoidal category の “group completion” は monoid の group completion の categorification と考えることができる。

Dwyer-Kan の localization の \((\infty ,1)\)-category version は, Hinich [Hin16] により考えられている。

古典的な高次の圏で最も一般的なのは, bicategory であるが, Pronk ら [Pro96; PW14] は bicategory に対し “category of fraction” の類似を導入している。 Tommasini [Tom16] が改良版を定義している。

• bicategory of fraction

Tommasini は [Tom] で bicategory of fraction を行なってできた bicategory が weak fiber product を持つための条件を調べている。

普通の small category に対しても, このような高次の圏の構造を用いて localization を定義してもよい。実際, Paoli と Pronk [PP14] などがある。

応用としては, Roberts の [Rob16] などがある。

他には, semi-localization というものもある。 Gran と Lackの [GL16]では Mantovaniの [Man98], Pedicchio と Rosický の [PR00], Rosický と Tholen の [RT07] が参照されている。

• semi-localization

References

[Baa+13]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, Birgit Richter, and John Rognes. “Ring completion of rig categories”. In: J. Reine Angew. Math. 674 (2013), pp. 43–80. arXiv: 0706.0531. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2012.024.

[Deh+15]

Patrick Dehornoy, François Digne, Eddy Godelle, Daan Krammer, and Jean Michel. Foundations of Garside theory. Vol. 22. EMS Tracts in Mathematics. Author name on title page: Daan Kramer. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2015, pp. xviii+691. isbn: 978-3-03719-139-2. url: https://doi.org/10.4171/139.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.

[Dri04]

Vladimir Drinfeld. “DG quotients of DG categories”. In: J. Algebra 272.2 (2004), pp. 643–691. arXiv: math/0210114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.05.001.

[Fri]

Tobias Fritz. Categories of Fractions Revisited. arXiv: 0803.2587.

[GL16]

Marino Gran and Stephen Lack. “Semi-localizations of semi-abelian categories”. In: J. Algebra 454 (2016), pp. 206–232. arXiv: 1405.1092. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.01.024.

[GM03]

Sergei I. Gelfand and Yuri I. Manin. Methods of homological algebra. Second. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2003, pp. xx+372. isbn: 3-540-43583-2.

[GPP]

Alisa Govzmann, Damjan Pištalo, and Norbert Poncin. Comparison theorems for Kan, faintly universal and strongly universal derived functors. arXiv: 2109.12392.

[GZ67]

Peter Gabriel and Michel Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967, pp. x+168. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-85844-4.

[Hin16]

Vladimir Hinich. “Dwyer-Kan localization revisited”. In: Homology Homotopy Appl. 18.1 (2016), pp. 27–48. arXiv: 1311.4128. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n1.a3.

[Kra10]

Henning Krause. “Localization theory for triangulated categories”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 161–235. arXiv: 0806.1324. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139107075.005.

[KS07]

Bruno Kahn and R. Sujatha. “A few localisation theorems”. In: Homology Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 137–161. arXiv: math/0610828. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127334.

[Man98]

S. Mantovani. “Semilocalizations of exact and lextensive categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 39.1 (1998), pp. 27–44.

[PP14]

Simona Paoli and Dorette Pronk. “The weakly globular double category of fractions of a category”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 25, 696–774. arXiv: 1406.4791.

[PR00]

M. Cristina Pedicchio and Jiří Rosický. “Localizations of varieties and quasivarieties”. In: J. Pure Appl. Algebra 148.3 (2000), pp. 275–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00155-8.

[Pro96]

Dorette A. Pronk. “Etendues and stacks as bicategories of fractions”. In: Compositio Math. 102.3 (1996), pp. 243–303. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1996__102_3_243_0.

[PW14]

Dorette A. Pronk and Michael A. Warren. “Bicategorical fibration structures and stacks”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), pp. 836–873. arXiv: 1303.0340.

[Rav15]

Oriol Raventós. “The hammock localization preserves homotopies”. In: Homology Homotopy Appl. 17.2 (2015), pp. 191–204. arXiv: 1404.7354. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n2.a10.

[Rob16]

David Michael Roberts. “On certain 2-categories admitting localisation by bicategories of fractions”. In: Appl. Categ. Structures 24.4 (2016), pp. 373–384. arXiv: 1402.7108. url: https://doi.org/10.1007/s10485-015-9400-4.

[RT07]

Jiří Rosický and Walter Tholen. “Factorization, fibration and torsion”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 295–314. arXiv: 0801.0063.

[Toë11]

Bertrand Toën. “Lectures on dg-categories”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 243–302. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0.

[Tom]

Matteo Tommasini. Weak fiber products in a bicategory of fractions. arXiv: 1412.3295.

[Tom16]

Matteo Tommasini. “Some insights on bicategories of fractions: representations and compositions of 2-morphisms”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 10, 257–329. arXiv: 1410.3990.