Right-Angled Coxeter Group

グラフ \(\Gamma \)が与えられたときに, 頂点を生成元とし, 頂点が辺で結ばれているときに対応する生成元が可換という関係式により Coxeter system が定義できる。 できた Coxeter group を right-angled Coxeter group という。

Kim と Walsh [KW16] は, right-angled Coxeter group について Davis の本 [Dav08] を薦めている。Davis の本が出版されて以降の発展については, Dani の survey [Dan20] がある。

Right-angled Artin group の解説である Charney の [Cha07] では, right-angled Coxeter group も含めて説明してある。 Right-angled Artin group というのは, right-angled Coxeter group の定義で, 生成元が位数 \(2\) という条件を外したものである。

• right-angled Artin group

Right-angled Artin group と right-angled Coxeter group は, braid群と 対称群の関係にあり, お互いに密接に関係している。例えば, Davis と Januszkiewicz の [DJ00] は, right-angled Coxeter group と right-angled Artin group を比較することにより, right-angled Artin group が linear であることを証明している。

グラフとして random graph のモデルを取ると, random right-angled Coxeter group ができる。

• random right-angled Coxeter group [CF12; BHS17]

グラフ以外からできるものとしては, 例えば, Kuroki と Masuda と Yu の [KMY15] で使われている convex polytope からできるものがある。これは convex polytope の双対の 1-skeleton をグラフと考え, それに associate した right-angled Coxeter group である。

Abstract simplicial complex の \(1\)-skeleton から作られたものは, Veryovkin の [Ver] に登場する。

References

[BHS17]

Jason Behrstock, Mark F. Hagen, and Alessandro Sisto. “Thickness, relative hyperbolicity, and randomness in Coxeter groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.2 (2017). With an appendix written jointly with Pierre-Emmanuel Caprace, pp. 705–740. arXiv: 1312.4789. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.705.

[CF12]

Ruth Charney and Michael Farber. “Random groups arising as graph products”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.2 (2012), pp. 979–995. arXiv: 1006.3378. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2012.12.979.

[Cha07]

Ruth Charney. “An introduction to right-angled Artin groups”. In: Geom. Dedicata 125 (2007), pp. 141–158. arXiv: math/0610668. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-007-9148-6.

[Dan20]

Pallavi Dani. “The large-scale geometry of right-angled Coxeter groups”. In: Handbook of group actions. V. Vol. 48. Adv. Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, [2020] ©2020, pp. 107–141. arXiv: 1807.08787.

[Dav08]

Michael W. Davis. The geometry and topology of Coxeter groups. Vol. 32. London Mathematical Society Monographs Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008, pp. xvi+584. isbn: 978-0-691-13138-2; 0-691-13138-4.

[DJ00]

Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. “Right-angled Artin groups are commensurable with right-angled Coxeter groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 153.3 (2000), pp. 229–235. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(99)00175-9.

[KMY15]

Shintarô Kuroki, Mikiya Masuda, and Li Yu. “Small covers, infra-solvmanifolds and curvature”. In: Forum Math. 27.5 (2015), pp. 2981–3004. arXiv: 1111.2174. url: https://doi.org/10.1515/forum-2013-0084.

[KW16]

S.-h. Kim and G. S. Walsh. “Coxeter groups, hyperbolic cubes and acute triangulations”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 117–142. arXiv: 1306.6025. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv038.

[Ver]

Yakov Veryovkin. The Lie algebra associated with the lower central series of a right-angled Coxeter group. arXiv: 1901.06929.