Equivariantization

群 \(G\) の 圏への作用があるとき, Grothendieck construction など, 新しい圏を作る方法はいくつかある。

Drinfel\('\)d ら [Dri+10] が導入した構成として equivariantization というものがある。 \(G\) の small category \(C\) への作用 \(\mu :G\to \mathrm {End}(C)\) が与えられたとき, 作用により object が別の object に移るかもしれないが, それらが coherent に同型な場合は同一視してよいので, 1つの object に \(G\) が作用していると思ってもよい。 そのような \(G\)-equivariant object の成す圏が \(G\) の \(C\) への作用の equivariantization \(C^{G}\) である。Drinfel\('\)d らは, \(k\)-module の成す monoidal category が \(C\) に作用するときに \(G\) の表現の成す monoidal category \(\category {Rep}(G;k)\) の \(C^{G}\) への作用を定義し, その作用も込めて equivariantization と呼んでいる。

実は, よく見ると \(G\)-equivariant objectとは, 作用を functor とみなして Grothendieck construction を取ったものから \(G\) への射影

の section と同等であることが分かる。 よって, equivariantizationとは, Grothendieck construction の射影の seciton の成すcategory のことなのである。Drinfel\('\)d らの論文にはそのようには書かれていないが。

更に, Hesse, Schweigart, Valentino [HSV17] に書かれているように, equivariantization は 群作用の homotopy fixed point とみなしてもよい。これは, Thomason の同一視

の下で, \(C^{G}\) の object \(\sigma :G\to \mathrm {Gr}(\mu )\) は bundle

の section を誘導するが, そのような section の空間は \(\mathrm {Map}_{G}(EG,BC)\), つまり \(G\) の \(BC\) への作用の homotopy fixed point と同一視されるからである。このことについては, 既に Thomason が [Tho83] で説明している。 そこでは, 群の圏への作用に対し lax limit が定義されているが, それは Drinfel\('\)d らの equivariantization と一致する。

Abelian category \(\bm {A}\) に群 \(G\) が作用しているときは, derived category にも \(G\) が作用するので, その equivariantization \(D^{b}(\bm {A})^{G}\) と \(\bm {A}\) の equivariantization の derived category \(D^{b}(\bm {A}^{G})\) が, いつ triangulated category として同値になるか, というのは誰でも思いつく問題である。これについては, Chen が [Che15] で考えている。この Chen の論文以前には, この問題については, Polishchuk の [Pol06] の Lemma 1.1 ぐらいしかなかったようである。

拡張としては, Mombelli とNatale [MN17]による bicategory 上の \(2\)-monad に対する equivariantization がある。群の場合は, Hesse, Schweigert, Vaelntino [HSV17] により調べられている。

群を small category \(I\) に一般化したもの, つまり関手 \(f:I\to \category {Cat}\) に対する構成としては, Cirici の [Cir15; CG16] がある。そこでは, category of diagrams という functor の成す category と間違えそうな名前が付けられている。

Cirici らは, 彼等の category of diagrams の定義の後に, Remark として Grothendieck construction の標準的な射影の

section の category と一致すると書いている。 よって, Thomason や Drinfel\('\)d らの構成の一般化となっている。 彼等の定義には抜けている条件があるので, 正確には一致しないが。

同様の構成は Barwick の [Bar10] にも登場する。 同じく model category の図式に関する論文であるが, Bergner の [Ber12] にも登場する。

Harpaz の [Har20] の冒頭では, Grothendieck construction のことを lax colimit, その射影の section の category を oplax limit と呼んでいる。どうやら, 専門家の間では Grothendieck construction の射影の section の category を categorical limit とみなすことは, 一般的な視点のようである。

References

[Bar10]

Clark Barwick. “On left and right model categories and left and right Bousfield localizations”. In: Homology, Homotopy Appl. 12.2 (2010), pp. 245–320. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1296223884.

[Ber12]

Julia E. Bergner. “Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 44.2 (2012), pp. 311–322. arXiv: 1010.0717. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdr095.

[CG16]

Joana Cirici and Francisco Guillén. “Homotopy theory of mixed Hodge complexes”. In: Tohoku Math. J. (2) 68.3 (2016), pp. 349–375. arXiv: 1304.6236. url: https://doi.org/10.2748/tmj/1474652264.

[Che15]

Xiao-Wu Chen. “A note on separable functors and monads with an application to equivariant derived categories”. In: Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 85.1 (2015), pp. 43–52. arXiv: 1403.1332. url: https://doi.org/10.1007/s12188-015-0103-4.

[Cir15]

Joana Cirici. “Cofibrant models of diagrams: mixed Hodge structures in rational homotopy”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 367.8 (2015), pp. 5935–5970. arXiv: 1307.4968. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-06405-2.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. url: https://doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[Har20]

Yonatan Harpaz. “Lax limits of model categories”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 25, 959–978. arXiv: 1902.04867.

[HSV17]

Jan Hesse, Christoph Schweigert, and Alessandro Valentino. “Frobenius algebras and homotopy fixed points of group actions on bicategories”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 18, 652–681. arXiv: 1607.05148.

[MN17]

Martín Mombelli and Sonia Natale. “Module categories over equivariantized tensor categories”. In: Mosc. Math. J. 17.1 (2017), pp. 97–128. arXiv: 1405.7896. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2017-17-1-97-128.

[Pol06]

A. Polishchuk. “Holomorphic bundles on 2-dimensional noncommutative toric orbifolds”. In: Noncommutative geometry and number theory. Aspects Math., E37. Vieweg, Wiesbaden, 2006, pp. 341–359. arXiv: math/0410283. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-0352-8_16.

[Tho83]

R. W. Thomason. “The homotopy limit problem”. In: Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982). Vol. 19. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, pp. 407–419.