Lewin-Wen あるいは string-net あるいは toric-code model

Topological order の数学的モデルとして Levin-Wen model [LW05] あるいは string-net model と呼ばれる monoidal category を用いたものがある。

Levin-Wen model と同等なもの (の特別な場合) は, quantum computing の文脈で, Kitaev [Kit03] により, Levin と Wen よりずっと前に導入されていたようである。Kitaev の toric-code model は, Lewin-Wen model で monoidal category が \(\Z /2\Z \) の表現の category の場合に対応するようであるが, Buerschaper ら [Bue+13] により, 有限次元 Hopf algebra に一般化されている。

• string net

String net とは, graph の辺をある spherical category の object でラベル付けしたものである。正確な定義は, Kirollov, Jr. の [Kir] などにある。

そしてこれらは, Turaev-Viro の topological quantum field theory とも同等なようである。Kirillov の [Kir] や Balsam と Kirillov の [BJ] で数学者向けに解説が書かれているので, まずはこれらを読むのがよいと思う。Koenig と Kuperberg と Reichardt の [KKR] は Turaev-Viro code と呼んでいる。

Lewin-Wen model を boundary や defect を持つ理論に拡張したものを Kitaev と Kong [KK12] が考えている。そこには tricategory が現れることもあり, \(n\)-Category Café でも議論されている。そこでの Kong のコメントによると tetracategory も現れるようである。

更に, Kong は [Kon] では, extended TQFT や Lurie の topological chiral homology との関係にも言及している。

References

[BJ]

Benjamin Balsam and Alexander Kirillov Jr. Kitaev’s Lattice Model and Turaev-Viro TQFTs. arXiv: 1206.2308.

[Bue+13]

Oliver Buerschaper, Juan Martı́n Mombelli, Matthias Christandl, and Miguel Aguado. “A hierarchy of topological tensor network states”. In: J. Math. Phys. 54.1 (2013), pp. 012201, 46. arXiv: 1007.5283. url: https://doi.org/10.1063/1.4773316.

[Kir]

Alexander Kirillov Jr. String-net model of Turaev-Viro invariants. arXiv: 1106.6033.

[Kit03]

A. Yu. Kitaev. “Fault-tolerant quantum computation by anyons”. In: Ann. Physics 303.1 (2003), pp. 2–30. arXiv: quant-ph/9707021. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0003-4916(02)00018-0.

[KK12]

Alexei Kitaev and Liang Kong. “Models for gapped boundaries and domain walls”. In: Comm. Math. Phys. 313.2 (2012), pp. 351–373. arXiv: 1104.5047. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-012-1500-5.

[KKR]

Robert Koenig, Greg Kuperberg, and Ben W. Reichardt. Quantum computation with Turaev-Viro codes. arXiv: 1002.2816.

[Kon]

Liang Kong. Some universal properties of Levin-Wen models. arXiv: 1211.4644.

[LW05]

Michael A. Levin and Xiao-Gang Wen. “String net condensation: A Physical mechanism for topological phases”. In: Phys.Rev. B71 (2005), p. 045110. arXiv: cond-mat/0404617 [cond-mat].