Centers of Categories

ここでいう center とは, 群論の意味での center の category への一般化である。

Müger [Müg03] によると, Baez は集合 \(X\) に対し, その center \(Z_0(X)\) を monoid \(\mathrm {End}(X)=\mathrm {Map}(X,X)\) として定義した。 通常の意味での monoid の centerを \(Z_1\) で表わすと, \(Z_1(Z_0(X))=\{1_X\}\) であることはすぐ分かる。

これを categorify するために, monoid \(M\) を object 1つの category と考える。 すると \[ Z_1(M)=\set {\theta : 1_M\to 1_M}{\text {natural transformation}} \] と同一視ができる。よって, 一般の category \(C\) に対し, その center \(Z_1(C)\) を identity functor の endonatural transformation の成す monoid として定義すればよいことが分かる。

例えば, この MathOverflow の質問で, simplicial set を定義するときの \(\Delta \) の center が何か, が聞かれているが, その 解答にあるように center は自明である。

もちろん \(Z_0(C)=\mathrm {End}(C)\) と定義する。すると, \(Z_0(C)\) は functor の合成で monoidal category になる。 Meir と Szymik の [MS15] では, これは Bernstein ceter と呼ばれて, Bass の algebraic \(K\)-theory の本 [Bas68], Mac Lane の教科書 [Mac98], そして Bernstein の [Ber84] が参照されている。

• small category の Bernstein center

次の段階は, monoidal category \((\bm {V},\otimes ,1)\) に対し, その center を定義することであるが, Müger [Müg03] によると, その定義は Drinfel\('\)d (未出版) と Majid [Maj91] と Joyal と Street [JS91] により独立に考えられたようである。 どういうわけか, Drinfel\('\)d center と呼ばれることが多いと思う。

• monoidal category \(\bm {V}\) のDrinfel\('\)d center \(Z_1(\bm [V])\)
• Drinfel\('\)d center は braided monoidal category の構造を持つ。

圏 \(C\) に対し \(Z_1(Z_0(C))\) が \(\{1_{C}\}\) と同値であることはすぐ分るので, これで集合の場合の類似ができたことになる。

Drinfel\('\)d center については, Müger の [Müg03] が分かりやすい。他には, Secret Blogging Seminar のこの post が分かりやすい。

重要な事実としては, Drinfel\('\)d double との関係がある。 Hopf algebra \(H\) に対して \(H\)-module の category は monoidal category になるが, その center は braided monoidal category として, \(H\) の Drinfel\('\)d double \(D(H)\) 上の module の成す braided monoidal category と同値になる。これについて, Müger [Müg03] は, Kassel の本 [Kas95] を見るように書いている。

Monoidal category と言えば, monoid object であるが, 一般に monoidal category \(\bm {V}\) の monoid object \(A\) の center \(Z(A)\) を定義することもできる。 ただし, \(Z(A)\) は \(Z_{1}(\bm {V})\) に属する。これは, Davydov [Dav10] が考えたのが最初だろうか。その起源は, [Frö+06] や [KR08] などにあるようであるが。

• monoid object の center

\((\infty ,1)\)-category や model category のように, ホモトピー圏を取れるものに対しては, ホモトピー論的な center が必要になる。そのようなものとして, Szymik [Szy18] が homotopy coherent center を simplicial category に対して定義している。

Monoidal category は object \(1\)つの bicategory だから, bicategory への一般化もできそうであるが, それについては Meir と Szymikの[MS15] がある。

• bicategory の center

References

[Bas68]

Hyman Bass. Algebraic \(K\)-theory. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968, pp. xx+762.

[Ber84]

J. N. Bernstein. “Le “centre” de Bernstein”. In: Representations of reductive groups over a local field. Travaux en Cours. Edited by P. Deligne. Paris: Hermann, 1984, pp. 1–32.

[Dav10]

Alexei Davydov. “Centre of an algebra”. In: Adv. Math. 225.1 (2010), pp. 319–348. arXiv: 0908.1250. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.02.018.

[Frö+06]

Jürg Fröhlich, Jürgen Fuchs, Ingo Runkel, and Christoph Schweigert. “Correspondences of ribbon categories”. In: Adv. Math. 199.1 (2006), pp. 192–329. arXiv: math / 0309465. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.04.007.

[JS91]

André Joyal and Ross Street. “Tortile Yang-Baxter operators in tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 71.1 (1991), pp. 43–51. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(91)90039-5.

[Kas95]

Christian Kassel. Quantum groups. Vol. 155. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. xii+531. isbn: 0-387-94370-6. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0783-2.

[KR08]

Liang Kong and Ingo Runkel. “Morita classes of algebras in modular tensor categories”. In: Adv. Math. 219.5 (2008), pp. 1548–1576. arXiv: 0708.1897. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.07.004.

[Mac98]

Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.

[Maj91]

Shahn Majid. “Reconstruction theorems and rational conformal field theories”. In: Internat. J. Modern Phys. A 6.24 (1991), pp. 4359–4374. url: https://doi.org/10.1142/S0217751X91002100.

[MS15]

Ehud Meir and Markus Szymik. “Drinfeld centers for bicategories”. In: Doc. Math. 20 (2015), pp. 707–735. arXiv: 1412.4487.

[Müg03]

Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. II. The quantum double of tensor categories and subfactors”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 159–219. arXiv: math/0111205. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00248-7.

[Szy18]

Markus Szymik. “Homotopy coherent centers versus centers of homotopy categories”. In: New directions in homotopy theory. Vol. 707. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2018] ©2018, pp. 121–142. arXiv: 1305 . 3029. url: https://doi.org/10.1090/conm/707/14257.