Brauer Group とその一般化

体 \(k\) の Brauer group とは, その上の central simple algebra の Morita equivalence class が tensor product に関して成す群のことである。 Oystaeyen と Zhang [VZ98] によると, 有限群の表現論のために導入されたようである。

その定義は, Azumaya [Azu51] により, local ring に一般化され, 更に, Auslander と Goldman [AG60] により, 可換環に対し, Azumaya algebra の Morita equivalence class の成す群として一般化された。

• Azumaya algebra

代数幾何学では, Grothendieck の [Gro95] などがある。 Secret Blogging Seminar に解説がある。

Morita 同値は, algebra と bimodule の成す bicategory に関することである, という視点から, 一般の bicategory にその定義を拡張することも考えられている。例えば, Niles Johnson の [Joh14] など。 更に高次の圏も考えられている。 例えば, Davydov と Nikshych の [DN13] では, finite tensor category \(\bm {C}\) に対し invertible \(\bm {C}\)-bimodule category の同値類の成す Brauer-Picard group という群が考えられている。Etingof と Nikshych と Ostrich の [ENO10] では, 同値類を考えないで \(3\)-groupoid として Brauer-Picard groupoid が定義されている。

• Brauer-Picard group
• Brauer-Picard groupoid

また, \(\bm {C}\) の Brauer-Picard groupは, \(\bm {C}\) の Drinfel\('\)d center の braided autoequivalence の成す群と同型であることも知られている。

Ershov は, [Ers08] で matrix bundle を用いたトポロジーでの Brauer group について述べている。Twisted \(K\)-theory への応用についても述べている。位相空間 (CW複体) 上の Brauer group を用いたものとしては, 他にも Antieau と Williams の [AW14a] などがある。 応用としては, Antieau と Williams の [AW14b] などがある。

• sheaf of Azumaya algebra over a topological space

Derived algebraic geometry での Azumaya algebra と Brauer group について考えているのは, Antieau と Gepner [AG14] である。

References

[AG14]

Benjamin Antieau and David Gepner. “Brauer groups and étale cohomology in derived algebraic geometry”. In: Geom. Topol. 18.2 (2014), pp. 1149–1244. arXiv: 1210 . 0290. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.1149.

[AG60]

Maurice Auslander and Oscar Goldman. “The Brauer group of a commutative ring”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), pp. 367–409.

[AW14a]

Benjamin Antieau and Ben Williams. “The period-index problem for twisted topological \(K\)-theory”. In: Geom. Topol. 18.2 (2014), pp. 1115–1148. arXiv: 1104.4654. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.1115.

[AW14b]

Benjamin Antieau and Ben Williams. “Unramified division algebras do not always contain Azumaya maximal orders”. In: Invent. Math. 197.1 (2014), pp. 47–56. arXiv: 1209.2216. url: https://doi.org/10.1007/s00222-013-0479-7.

[Azu51]

Gorô Azumaya. “On maximally central algebras”. In: Nagoya Math. J. 2 (1951), pp. 119–150. url: http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118764746.

[DN13]

Alexei Davydov and Dmitri Nikshych. “The Picard crossed module of a braided tensor category”. In: Algebra Number Theory 7.6 (2013), pp. 1365–1403. arXiv: 1202 . 0061. url: https://doi.org/10.2140/ant.2013.7.1365.

[ENO10]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “Fusion categories and homotopy theory”. In: Quantum Topol. 1.3 (2010). With an appendix by Ehud Meir, pp. 209–273. arXiv: 0909.3140. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/6.

[Ers08]

A. V. Ershov. “A generalization of the topological Brauer group”. In: J. K-Theory 2.3 (2008), pp. 407–444. arXiv: math/0301180. url: https://doi.org/10.1017/is008001006jkt027.

[Gro95]

Alexander Grothendieck. “Le groupe de Brauer. I. Algèbres d’Azumaya et interprétations diverses [ MR0244269 (39 #5586a)]”. In: Séminaire Bourbaki, Vol. 9. Paris: Soc. Math. France, 1995, Exp. No. 290, 199–219.

[Joh14]

Niles Johnson. “Azumaya objects in triangulated bicategories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 465–493. arXiv: 1005.4878. url: http://dx.doi.org/10.1007/s40062-013-0035-6.

[VZ98]

Fred Van Oystaeyen and Yinhuo Zhang. “The Brauer group of a braided monoidal category”. In: J. Algebra 202.1 (1998), pp. 96–128. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1997.7295.