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Azumaya は, [Azu51] で Azumaya algebra の概念を導入し, Brauer group の定義を体から local
ring に拡張した。 Azumaya は local ring 上の Azumaya algebra を定義したが, その後 Auslander と
Goldman [AG60] により任意の ground ring で通用する定義が発見されている。
Hazrat と Millar [HM10] は Knus の本 [Knu91] を参照している。Knus は, 他にも Ojanguren と本
[KO74] を書いている。 最初に Millar thesis [Mil] の Introduction を読むと良いかもしれない。
定義は, その後様々な方向に拡張され, それにより Brauer group の定義も拡張されている。
まず, Grothendieck [Gro68; Gro95] により scheme, より一般に ringed space 上の Azumaya
algebra の sheaf が調べられている。
Sheaf は scheme だけでなく, 位相空間でも定義できるが, 位相空間上の Azumaya algebra は Antieau と
Williams [AW14] により考えられている。
Toën [Toë12] は simplicial ring 上の derived Azumaya algebra や derived stack
上の derived Azumaya algebra を定義している。 Tabuada [Tab16] は, dg Azumaya
algebraと呼んでいるが。
- derived Azumaya algebra or dg Azumaya algebra
Derived algebraic geometry では, Antieau の Gepner [AG14] がある。
安定ホモトピー論, つまり ring spectrum に対する拡張は, Baker と Richter と Szymik の [BRS12]
で導入されている。
- Azumaya algebra of ring spectrum
また, braided monoidal category での Azumaya algebra が Van Oystaeyen と Zhang
[VZ98] により導入されている。
References
-
[AG14]
-
Benjamin Antieau and David Gepner. “Brauer groups and
étale cohomology in derived algebraic geometry”. In: Geom.
Topol. 18.2 (2014), pp. 1149–1244. arXiv: 1210 . 0290. url:
https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.1149.
-
[AG60]
-
Maurice Auslander and Oscar Goldman. “The Brauer group of
a commutative ring”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960),
pp. 367–409.
-
[AW14]
-
Benjamin Antieau and Ben Williams. “The period-index problem for
twisted topological \(K\)-theory”. In:
Geom. Topol. 18.2 (2014), pp. 1115–1148. arXiv: 1104.4654. url:
https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.1115.
-
[Azu51]
-
Gorô Azumaya. “On maximally central algebras”. In: Nagoya Math.
J. 2 (1951), pp. 119–150. url:
http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118764746.
-
[BRS12]
-
Andrew Baker, Birgit Richter, and Markus Szymik. “Brauer groups
for commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.11 (2012),
pp. 2361–2376. arXiv: 1005 . 5370. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.03.001.
-
[Gro68]
-
Alexander Grothendieck. “Le groupe de Brauer. I. Algèbres
d’Azumaya et interprétations diverses”. In: Dix Exposés sur
la Cohomologie des Schémas. Amsterdam: North-Holland, 1968,
pp. 46–66.
-
[Gro95]
-
Alexander Grothendieck. “Le groupe de Brauer. I. Algèbres
d’Azumaya et interprétations diverses [ MR0244269 (39 #5586a)]”.
In: Séminaire Bourbaki, Vol. 9. Paris: Soc. Math. France, 1995,
Exp. No. 290, 199–219.
-
[HM10]
-
Roozbeh Hazrat and Judith R. Millar. “A note on \(K\)-theory of
Azumaya algebras”. In: Comm. Algebra 38.3 (2010), pp. 919–926.
url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870902828710.
-
[Knu91]
-
Max-Albert Knus. Quadratic and Hermitian forms over
rings. Vol. 294. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
[Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a foreword
by I. Bertuccioni. Berlin: Springer-Verlag, 1991, pp. xii+524. isbn:
3-540-52117-8.
-
[KO74]
-
Max-Albert Knus and Manuel Ojanguren. Théorie de la descente
et algèbres d’Azumaya. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 389.
Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974, pp. iv+163.
-
[Mil]
-
Judith R Millar. \(K\)-Theory of Azumaya Algebras. arXiv: 1101.1468.
-
[Tab16]
-
Gonçalo Tabuada. “A note on secondary \(K\)-theory”. In: Algebra
Number Theory 10.4 (2016), pp. 887–906. arXiv: 1506.00916. url:
https://doi.org/10.2140/ant.2016.10.887.
-
[Toë12]
-
Bertrand Toën. “Derived
Azumaya algebras and generators for twisted derived categories”. In:
Invent. Math. 189.3 (2012), pp. 581–652. arXiv: 1002.2599. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00222-011-0372-1.
-
[VZ98]
-
Fred Van Oystaeyen and Yinhuo Zhang. “The Brauer group of a
braided monoidal category”. In: J. Algebra 202.1 (1998), pp. 96–128.
url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1997.7295.
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