楕円コホモロジーと関連した話題

楕円コホモロジーの特徴としては, 数論との関連がまず挙げられる。

• 楕円曲線
• Modular form

\(K\)理論と多様体上のDirac作用素の指数との関連は, Atiyah-Singerの指数定理で与えられる。 Witten による多様体の free loop space 上の Dirac 作用素と, いわゆる Witten genus との関連から, elliptic cohomology についても数理物理と深い関係にあることが期待される。

これらのことについては, Cheung の [Che] の§1 が分かりやすい。 \(M\) が Spin manifold のとき \(\widehat{A}(M)\) が整数になることの類似が, \(M\) が string manifold のときに Witten genus が modular になることであり, \(\mathrm{KO}\)-orientation \[ \mathrm{MSpin} \longrightarrow \mathrm{KO} \] に対応するのが Ando らの \(\sigma \)-orientation \[ \mathrm{MString} \longrightarrow \mathrm{tmf} \] である。この意味でも \(\mathrm{tmf}\) はホモトピー論的には「正しい構成」と言えるようである。

• Elliptic genus
• Witten genus (sigma orientation)
• \(\mathrm{tmf}\)

Ando と French と Ganther の [AFG08] は, \(2\)変数の elliptic genusと sigma orientation の関係を調べたものである。

もちろん, 幾何学的な意味を考えるときには, \(\mathrm{tmf}\) では不十分である。 Gorbounov と Malikov と Schechtman [GMS00] は, ある条件をみたす complex manifold 上の chiral differential operator の成す vertex algebra から sheaf を作り, その cohomology と Witten genus に関係があることを示したが, Cheung は [Che] でその拡張を考えている。DG vertex algebroid を経由して, 求める DG vertex algebra の sheaf を作ろうとしている。

また, \(K\)理論は Ramond-Ramond field や \(M\)-theory と関係しているが, それらの現象は elliptic cohomology まで広げて考えた方が説明がつく, ということを考えているのが, Kriz と Sati [KS04; KS05b; KS05a] である。 Sati [Sat10]は, \(\mathrm{tmf}\) の twisting を M-theory に使うことを考えている。

Sati は, [Sat09] で elliptic homology との関係ついても述べている。 Elliptic cohomology の構成も難しい問題であるが, elliptic homology の具体的な構成についても考えるべきかもしれない。 \(K\)理論なら, Baum-Douglas の構成や Segal の構成などがあるが, 類似の構成があるのだろうか。Sati は, その論文の中で “we even hope that M-theory itself would in turn give more insights into the homotopy theory.” と言っているが, M-theory は elliptic homology の構成のヒントを与えてくれるだろうか。 ホモトピー論との関連についての Sati のアイデアは [Sat10] が分かりやすいと思う。

Moonshine との関連については, Ganter の [Gan09] がある。

References

[AFG08]

Matthew Ando, Christopher P. French, and Nora Ganter. “The Jacobi orientation and the two-variable elliptic genus”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 493–539. arXiv: math/0605554. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.493.

[Che]

Pokman Cheung. The Witten genus and vertex algebras. arXiv: 0811.1418.

[Gan09]

Nora Ganter. “Hecke operators in equivariant elliptic cohomology and generalized Moonshine”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 173–209. arXiv: 0706.2898.

[GMS00]

Vassily Gorbounov, Fyodor Malikov, and Vadim Schechtman. “Gerbes of chiral differential operators”. In: Math. Res. Lett. 7.1 (2000), pp. 55–66. arXiv: math/9906117.

[KS04]

Igor Kriz and Hisham Sati. “M-theory, type IIA superstrings, and elliptic cohomology”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 8.2 (2004), pp. 345–394. arXiv: hep-th/0404013. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1091543172.

[KS05a]

Igor Kriz and Hisham Sati. “Type II string theory and modularity”. In: J. High Energy Phys. 8 (2005), 038, 30 pp. (electronic). arXiv: hep-th/0501060. url: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/2005/08/038.

[KS05b]

Igor Kriz and Hisham Sati. “Type IIB string theory, \(S\)-duality, and generalized cohomology”. In: Nuclear Phys. B 715.3 (2005), pp. 639–664. arXiv: hep-th/0410293. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2005.02.016.

[Sat09]

Hisham Sati. “\(\mathbb{OP}^2\) bundles in M-theory”. In: Commun. Number Theory Phys. 3.3 (2009), pp. 495–530. arXiv: 0807.4899.

[Sat10]

Hisham Sati. “Geometric and topological structures related to M-branes”. In: Superstrings, geometry, topology, and \(C^*\)-algebras. Vol. 81. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 181–236. arXiv: 1001.5020.