String topology の拡張

String topology の拡張としては, まず多様体よりもう少し一般的な空間の上の free loop space で string topology と同様のことを行おうという試みがある。

(有限次元の) 多様体の一般化には色々なものがあるが, 次の二つについては string topology の類似が考えられている。

• Poincaré duality space ([Kle06; TZ07])
• orbifold

Lupercio と Uribe は topological groupoid の loop groupoid を定義したが, Lupercio と Uribe と Xicotencatl [LUX08] は, それを用いて orbifold の loop groupoid に Chas-Sullivan product を一般化している。それを symmetric product の場合に詳しく調べたのが, [LUX07] である。Angel, Backelin, Uribe の [ÁBU12] では, Hochschild (co)homology との関係の拡張が調べられている。

Differentiable stack については, Behrend ら [Beh+12] が考えている。 Ginot と Noohi の [GN] はその続編である。

• stack の string topology

無限次元の多様体の中でも, compact Lie群の分類空間は, 有限次元の多様体の極限で表わされるので扱い易い。実際, [CM12] で Chataur と Menichi が考えている。

Riemann 面から複素多様体への holomorphic map のなす空間にも Chas-Sullivan product を定義することができる。Kallel と Salvatore の [KS] など。

Chataur と Le Borgne [CL09] は, \(S^1\) の \(S^n\) への immersion のなす空間のホモロジー上の Chas-Sullivan product を考えている。

Cohen と Jones の Thom spectrum による構成 [CJ02] をより一般の fiberwise monoid に拡張したのが, Gruher と Salvatore の [GS08] である。彼等は, その応用として Chas-Sullivan product の homotopy 不変性についても述べている。

その fiberwise monoid が principal \(G\)-bundle \(P\to M\) に associate した adjoint bundle \(P^{\mathrm{Ad}}\to M\) の場合, Cohen と Jones [CJ] は, できた Thom spectrum を string topology spectrum と呼んでいる。更に, その構成を \(M\) 上の空間の圏 \(\category{Top}\downarrow M\) に functorial に拡張し, それが 元の principal bundle の pullback の gauge group の suspension spectrum を取る functor の線形化になっていることを示している。その方向で書かれたのが Malkiewichの thesis [Mal] であ る。つまり, Goodwillie calculus が隠れているような感じで, 興味深い。

• gauge group の suspension spectrum の線形化としての string topology spectrum

代数的な類似も考えられている。Menichi の [Men04] や Hossein Abbaspour, Tradler, Zeinalian の [ATZ10] など。

対象となる空間を拡張するだけでなく, ホモロジーを拡張することも考えられている。

Conformal field theory との関係から, twisted \(K\)-theory を考えようというのが, Kriz らの試み [KLW10] である。その元になっているのは, Freed と Hopkins と Teleman の \(G\) の conjugation action による \(G\)-equivariant twisted \(K\)-theory に関する結果 [FHT11] と Lahtinen [Lah] による equivariant twisted \(K\)-theory の completion theorem である。

R. Cohen と Jones のアプローチ [CJ02] なら, spectrum レベルの議論なので, 一般ホモロジーを用いることができる。

そのようなアプローチでは, Chas-Sullivan product をより一般の operation の 特別な場合とみなすのが自然になる。その operation は Riemann 面や ribbon graph (の moduli space) により与えられる。Godin の [God] など。Blumberg と Cohen と Teleman の [BCT09] で提唱されているように, open-closed topological conformal field theory と考えるべきなのかもしれない。

このように open string も含めたものへの拡張も考えられている。

• open-closed string topology

\(S^1\) をより高次元の多様体に取り替える試みも行なわれている。例えば Bargheer [Bar14; Bar] は \(\mathrm{Map}(S^n,M)\) などを考えている。

References

[ÁBU12]

Andrés Ángel, Erik Backelin, and Bernardo Uribe. “Hochschild cohomology and string topology of global quotient orbifolds”. In: J. Topol. 5.3 (2012), pp. 593–638. arXiv: 1004.4427. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts016.

[ATZ10]

Hossein Abbaspour, Thomas Tradler, and Mahmoud Zeinalian. “Algebraic string bracket as a Poisson bracket”. In: J. Noncommut. Geom. 4.3 (2010), pp. 331–347. arXiv: 0807.2351. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/58.

[Bar]

Tarje Bargheer. Umkehr Maps Patched via the Compactified Cleavage Operad. arXiv: 1206.5842.

[Bar14]

Tarje Bargheer. “The cleavage operad and string topology of higher dimension”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 366.8 (2014), pp. 4209–4241. arXiv: 1012.4839. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05946-1.

[BCT09]

Andrew J. Blumberg, Ralph L. Cohen, and Constantin Teleman. “Open-closed field theories, string topology, and Hochschild homology”. In: Alpine perspectives on algebraic topology. Vol. 504. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 53–76. arXiv: 0906.5198. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/504/09875.

[Beh+12]

Kai Behrend, Grégory Ginot, Behrang Noohi, and Ping Xu. “String topology for stacks”. In: Astérisque 343 (2012), pp. xiv+169. arXiv: 0712.3857.

[CJ]

Ralph L. Cohen and John D. S. Jones. Gauge theory and string topology. arXiv: 1304.0613.

[CJ02]

Ralph L. Cohen and John D. S. Jones. “A homotopy theoretic realization of string topology”. In: Math. Ann. 324.4 (2002), pp. 773–798. arXiv: math/0107187. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-002-0362-0.

[CL09]

David Chataur and Jean-François Le Borgne. “Homology of spaces of regular loops in the sphere”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.2 (2009), pp. 935–977. arXiv: 0811.3319. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.935.

[CM12]

David Chataur and Luc Menichi. “String topology of classifying spaces”. In: J. Reine Angew. Math. 669 (2012), pp. 1–45. arXiv: 0801.0174. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2011.140.

[FHT11]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory I”. In: J. Topol. 4.4 (2011), pp. 737–798. arXiv: 0711.1906. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr019.

[GN]

Gregory Ginot and Behrang Noohi. Group actions on stacks and applications to equivariant string topology for stacks. arXiv: 1206.5603.

[God]

Veronique Godin. Higher string topology operations. arXiv: 0711.4859.

[GS08]

Kate Gruher and Paolo Salvatore. “Generalized string topology operations”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 96.1 (2008), pp. 78–106. arXiv: math/0602210. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdm030.

[Kle06]

John R. Klein. “Fiber products, Poincaré duality and \(A_{\infty }\)-ring spectra”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.6 (2006), 1825–1833 (electronic). arXiv: math/0306350. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-08148-7.

[KLW10]

Igor Kriz, Joshua T. Levin, and Craig Westerland. “The symplectic Verlinde algebras and string \(K\)-theory”. In: J. Topol. 3.4 (2010), pp. 901–936. arXiv: 0901.2109. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq029.

[KS]

Sadok Kallel and Paolo Salvatore. Rational maps and string topology. arXiv: math/0309137.

[Lah]

Anssi Lahtinen. The Atiyah–Segal completion theorem in twisted \(K\)-theory. arXiv: 0809.1273.

[LUX07]

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicoténcatl. “The loop orbifold of the symmetric product”. In: J. Pure Appl. Algebra 211.2 (2007), pp. 293–306. arXiv: math/0606573. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.01.002.

[LUX08]

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicotencatl. “Orbifold string topology”. In: Geom. Topol. 12.4 (2008), pp. 2203–2247. arXiv: math/0512658. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.2203.

[Mal]

Cary Malkiewich. A tower connecting gauge groups to string topology. arXiv: 1209.1778.

[Men04]

Luc Menichi. “Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras”. In: \(K\)-Theory 32.3 (2004), pp. 231–251. arXiv: math/0311276. url: https://doi.org/10.1007/s10977-004-0480-4.

[TZ07]

Thomas Tradler and Mahmoud Zeinalian. “Infinity structure of Poincaré duality spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007). Appendix A by Dennis Sullivan, pp. 233–260. arXiv: math/0309455. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.233.