Open-closed String Topology

Chas と Sullivan が考えた string topology は, free loop space つまり closed string である。 もちろん open string を調べることも重要である。実際 Sullivan は, open string と closed string を統一的に扱う [Sul04] という試みを発表している。

R. Cohen と Godin の Frobenius algebra structure [CG04] を open-closed string に拡張したのが Ramirez の [Ram] である。

Godin は [God] で \((H_*(LM), H_*(M))\) という pair が open-closed homological conformal field theory という構造を持つことを示している。これは, open-closed cobordism が homology レベルで作用する ということを言っている。Blumberg と Cohen と Teleman の [BCT09] によると, その元になっている chain complex レベルでの作用がある, つまり dg category を用いた定式化が存在するというのが, 予想のようである。 Blumberg と Cohen と Teleman は, その dg category を string topology category と呼んでいる。

• string topology category

Shamir [Sha14] が triangulated category の thick subcategory を調べるのに開発された道具を使って調べていて興味深い。 使っている triangulated category は, 多様体の based loop space の singular chain の 成す dg algebra の derived category である。

Poirier と Rounds [PR] は Riemann 面の moduli space のコンパクト化が, chain complex レベルで作用することを示すのを目標に, string diagram の moduli space のコンパクト化が chain complex レベルで作用することを示している。

Tamanoi は, [Tam10] で示した closed string に対する higher genus surface で定義される string operation が消えていることを示したが, その類似が open-closed string に対しても成り立つことを, [Tamb] で示している。そして nontrivial なものについては, [Tama] で調べている。

References

[BCT09]

Andrew J. Blumberg, Ralph L. Cohen, and Constantin Teleman. “Open-closed field theories, string topology, and Hochschild homology”. In: Alpine perspectives on algebraic topology. Vol. 504. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 53–76. arXiv: 0906.5198. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/504/09875.

[CG04]

Ralph L. Cohen and Véronique Godin. “A polarized view of string topology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 127–154. arXiv: math/0303003. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.008.

[God]

Veronique Godin. Higher string topology operations. arXiv: 0711.4859.

[PR]

Kate Poirier and Nathaniel Rounds. Compactifying String Topology. arXiv: 1111.3635.

[Ram]

Antonio Ramirez. Open-Closed String Topology via Fat Graphs. arXiv: math/0606512.

[Sha14]

Shoham Shamir. “On the string topology category of compact Lie groups”. In: Adv. Math. 261 (2014), pp. 122–153. arXiv: 1301.2688. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.05.002.

[Sul04]

Dennis Sullivan. “Open and closed string field theory interpreted in classical algebraic topology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 344–357. arXiv: math/0302332. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.014.

[Tama]

Hirotaka Tamanoi. Open-Closed TQFT String Operations for Disc Cobordisms, Simultaneous Saddle Interactions, and Constant Homology Classes. arXiv: 0803.1041.

[Tamb]

Hirotaka Tamanoi. TQFT string operations in open-closed string topology. arXiv: 0803.1038.

[Tam10]

Hirotaka Tamanoi. “Loop coproducts in string topology and triviality of higher genus TQFT operations”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.5 (2010), pp. 605–615. arXiv: 0706.1276. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.07.011.