連続とは限らない写像の成す空間

トポロジーでは, 伝統的に連続写像を用いて研究してきた。 位相空間の間の写像を定義したら, まずはそれが連続であることを確かめなければならない, と学生時代から教えられてきた。ところが, 解析学では連続性はそれほど重要ではない。 連続ではない写像や, 超関数のように写像ではないものも自由に扱っている。

可微分多様体ならば, 解析学の道具を用いて研究することができ, 連続ではない写像を扱うことも不自然ではない。その方向での文献としては, まず Bethuel の仕事 [Bet91; Bet+91] がある。Brezis の [Bre03] の §4 にあるまとめを最初に見るとよいかもしれない。

• 可微分多様体 \(M\), \(N\) に対し, \(W^{1,p}(M,N)\) の定義
• 可微分多様体 \(M\), \(N\) に対し \(H^{1,p}_S(M,N)\) の定義
• 可微分多様体 \(M\), \(N\) に対し \(H^{1,p}_W(M,N)\) の定義
• \(f \in W^{1,p}(M,N)\) は \(k< [p]\) に対し準同形 \[ f^* : H^k(N;\R ) \longrightarrow H^k(M,\R ) \] を誘導する。(Schoen と Uhlenbeck の出版されていない結果)

\(W^{1,p}(M,N)\) の位相空間としての性質については, Brezis と Li [BL01] が調べている。例えば, 弧状連結性などについての結果を得ている。他にも, Hang と Lin の [HL01; HL03a; HL03b] などがある。

Hajlasz と Schikorra [HS] は, 多様体の間の Lipschitz 写像の成す空間が Sobolev 空間 \(W^{1,p}(M,N)\) の中で dense になるかどうかという問題を考えている。

Banakh と Bokalo は [BB] で scatteredly continuous map という種類の写像を考えている。

Parzygnat [Par] は, stochastic map という種類の写像をコンパクト Hausdorff 空間上に定義し, Gel\('\)fand-Naimark の定理の類似を証明して いる。

References

[BB]

T. Banakh and B. Bokalo. On scatteredly continuous maps between topological spaces. arXiv: 0801.2131.

[Bet+91]

F. Bethuel, J.-M. Coron, F. Demengel, and F. Hélein. “A cohomological criterion for density of smooth maps in Sobolev spaces between two manifolds”. In: Nematics (Orsay, 1990). Vol. 332. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991, pp. 15–23.

[Bet91]

Fabrice Bethuel. “The approximation problem for Sobolev maps between two manifolds”. In: Acta Math. 167.3-4 (1991), pp. 153–206. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392449.

[BL01]

Haim Brezis and Yanyan Li. “Topology and Sobolev spaces”. In: J. Funct. Anal. 183.2 (2001), pp. 321–369. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.2000.3736.

[Bre03]

Haim Brezis. “The interplay between analysis and topology in some nonlinear PDE problems”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40.2 (2003), 179–201 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-03-00976-5.

[HL01]

Fengbo Hang and Fanghua Lin. “Topology of Sobolev mappings”. In: Math. Res. Lett. 8.3 (2001), pp. 321–330.

[HL03a]

Fengbo Hang and Fanghua Lin. “Topology of Sobolev mappings. II”. In: Acta Math. 191.1 (2003), pp. 55–107.

[HL03b]

Fengbo Hang and Fanghua Lin. “Topology of Sobolev mappings. III”. In: Comm. Pure Appl. Math. 56.10 (2003), pp. 1383–1415.

[HS]

Piotr Hajlasz and Armin Schikorra. Lipschitz homotopy and density of Lipschitz mappings in Sobolev spaces. arXiv: 1306.6502.

[Par]

Arthur J. Parzygnat. Discrete probabilistic and algebraic dynamics: a stochastic commutative Gelfand-Naimark Theorem. arXiv: 1708.00091.