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ある圏 \(\bm {C}\) の pro-object の成す圏 (pro-completion) \(\category {Pro}(\bm {C})\) のモデル構造は, Isaksen らの [Isa01;
Isa04; Isa; FI07b; FI07a; Fau08] や Barnea らの [BS16; BS; BS15; BHH17]
で調べられている。
より具体的には, 以下のような例がある。
- simplicial profinite set の圏で mod \(p\) cohomology の同型を誘導する写像を weak
equivalence とする model structure [Mor96]
-
profinite space の圏の model structure [Qui08]
- profinite group \(G\) に対し, profinite \(G\)-space の圏の model structure [Qui11]
- profinite group \(G\) に対し symmetric profinite \(G\)-spectrum の圏の model structure
[Qui13]
Blom と Moerdijk [BM23] は, Morel や Quick の構成を一般化する model structure
の構成方法を提案している。
Barnea と Schlank [BS16] によると, pro-object の圏にモデル構造を定義するためなら,
元の圏はモデル圏になっている必要はないようである。 ある条件をみたす “weak fibration category” の pro-object
の圏にモデル構造を定義している。その条件は 2-out-of-3 に関するものであるが, その条件について Barnea が [Bar17]
で調べている。
Pro-object の圏の functorial factorization については, Barnea と Schlank の [BS]
で調べられている。
Fausk と Isaksen の [FI07b] では, pro-object の category における様々なモデル構造を考察する中で,
\(t\)-model category という概念を定義している。これは stable model category に対し, その triangulated
category での \(t\)-structure を合わせて考えたものである。
References
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