Comma Category

Comma category は, overcategory や undercategory とも呼ばれる。 より一般化した形も含めて Mac Lane の本 [Mac98] に書いてある。

トポロジーの中には, fiberwise topology という分野もあるが, これは空間 \(X\) を fix し comma category \(\category {Top}\downarrow X\) を調べる分野と言える。

• fiberwise あるいは parametrized topology

代数的トポロジーでは, Eilenberg-Moore spectral sequence の構成や, Goodwillie calculus で使われている。

Day と Street [DS04] は, \(\category {Set}\downarrow X\times X\) が, 集合 \(X\) を頂点の集合とする quiver の圏であること, そしてそれが pull back により monoidal structure を持つことに着目し, object の集合が \(X\) である small category を \(\category {Set}\downarrow X\times X\) の monoid object として定義できることを発見した。この視点は, small category の Hochschild-Mitchell homology を理解するときに, 有用である。

他に comma category が現れる場面としては, Quillen の Theorem A と B, よって fibered category の理論が重要である。

また, cellular stratified space の理論でも, 重要な役割を果す。

Cohen-Jones-Segal の Morse 理論 の discrete Morse theory 版を考えた [NTT18] では, 2-category 版を用いたが, まとまって書かれたものが見当らなかったので Appendix として書いた。 そこにも書いたが, \(2\)-category の間の “functor” \(f:C\to D\) としては lax functor と colax functor があり, それぞれの場合で可能な構成が異なるので注意が必要である。

• comma categories for lax and colax functors

\(D\) の object \(d\) に対し, \(f\) が colax functor ならば \(f\downarrow d\) が定義されるが, 一般には \(d\downarrow f\) は定義されない。 \(f\) が lax functor ならば \(d\downarrow f\) を定義できるが, 一般には \(f\downarrow d\) は定義できない。ただ, \(f\) が normal, すなわち identity \(1\)-morphism を strict に保つならば, いづれの場合も \(f\downarrow d\) も \(d\downarrow f\) も定義できる。

References

[DS04]

Brian Day and Ross Street. “Quantum categories, star autonomy, and quantum groupoids”. In: Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories. Vol. 43. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 187–225. arXiv: math/0301209.

[Mac98]

Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.