Cohen-Jones-Segal Morse Theory

古典的なMorse理論では, 多様体上のMorse関数から chain complexを構成するが, その多様体のホモトピー型を表す有限CW複体を, 構成することもできる。

古典的な方法では, 小さい次元から順番に cell を貼り合せて ad hoc な方法で構成するが, もっとずっとスマートな方法がある。 R. Cohen と Jones と Segal の preprint [CJS] で述べられている方法である。 かつて, Rochester での学生時代に, Martin Guest 氏からコピーを貰って, 面白そうだと思っていたが, 未だに出版されていない。Ralph Cohen の website から download できるが。 数理研講究録の [CJS94] や Floer Memorial Volume の中の [CJS95] もある。R. Cohen の [Coh09] の §1.1 をまず読んでみるとよいかもしれない。そこでは, Franks の [Fra79] が参照されている。

彼等は, Morse関数に対し topological category を構成し, その分類空間が元の多様体とホモトピー同値や同相になると主張している。 ただ, 2011年夏にメキシコの CINVESTAV を訪ずれたとき, Ralph Cohen の元学 生の Lupercio に聞いたら, associativity の証明に gap があり, 証明は完成していないようである。

その associativity の証明は, Qin の [Qin18] で考えられている。また 彼は, [Qin10; Qin21] などで gradient flow の成す moduli space や その compactification について詳しく調べているので, まずは, これらの論文を読んでみるのがよいと思う。Flow の moduli空間の compactification については, Wehrheim の [Weh12] もある。

Morse関数からできる topological category のことを, 彼等は flow category と呼んでいるが, そのPL版 (poset版) を Sarkar [Sar12] が考えている。

R. Cohen は, [Coh09] で chain complex を spectrum の列で実現する問題と考えている。

Lipshitz と Sarkar の Khovanov homotopy type の仕事 [LS14] 以来, flow category と言えば, 彼等により定義された morphism の空間が \(\langle n\rangle \)-manifold の構造を持つものを指すようになった, と思う。 そのアイデアは, [CJS95] に登場したものであるが。

• flow category

また, Morse関数を \(\R \) 上の smooth manifold の成す comma category \(\category {Mfd}\downarrow \R \) の部分圏の object とみなすと, この圏から chain complex, あるいはCW複体の圏への functor として構成できるとうれしい。 その試みとしては Aizenbud と Zapolsky の [AZ] がある。

Hohloch [Hoh14a; Hoh14b] は, Cohen-Jone-Segal の flow category の morphism space の上に更に Morse 関数を考え, morphism space を topological category に分解することを考えている。 この操作を繰り返して, 多様体を高次の圏に分解することを提案している。 \(n\)次元多様体から “almost strict \(n\)-category”ができることが主定理である。 ただ, 構成された almost strict \(n\)-category の homotopy type については 何も書かれていない。

Discrete Morse theory への一般化については, Nanda と Tanaka との共著 [NTT18] で考えた。

• discrete Cohen-Jonse-Segal Morse theory

References

[AZ]

Avraham Aizenbud and Frol Zapolsky. Functoriality in Morse theory on closed manifolds. arXiv: 0805.2131.

[CJS]

R. L. Cohen, J.D.S. Jones, and G. B. Segal. Morse theory and classifying spaces. preprint. url: http://math.stanford.edu/~ralph/morse.ps.

[CJS94]

R. L. Cohen, J. D. S. Jones, and G. B. Segal. “Floer’s infinite-dimensional Morse theory and homotopy theory”. In: Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku 883 (1994). Geometric aspects of infinite integrable systems (Japanese) (Kyoto, 1993), pp. 68–96. url: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0883-4.pdf.

[CJS95]

R. L. Cohen, J. D. S. Jones, and G. B. Segal. “Floer’s infinite-dimensional Morse theory and homotopy theory”. In: The Floer memorial volume. Vol. 133. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 297–325.

[Coh09]

Ralph L. Cohen. “Floer homotopy theory, realizing chain complexes by module spectra, and manifolds with corners”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 39–59. arXiv: 0802.2752. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_3.

[Fra79]

John M. Franks. “Morse-Smale flows and homotopy theory”. In: Topology 18.3 (1979), pp. 199–215. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(79)90003-X.

[Hoh14a]

Sonja Hohloch. “Higher Morse moduli spaces and \(n\)-categories”. In: Homology Homotopy Appl. 16.2 (2014), pp. 1–32. arXiv: 1703. 10696. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n2.a1.

[Hoh14b]

Sonja Hohloch. “On the image of the almost strict Morse \(N\)-category under almost strict \(N\)-functors”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 3, 21–47. arXiv: 1703.10671.

[LS14]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.

[Qin10]

Lizhen Qin. “On moduli spaces and CW structures arising from Morse theory on Hilbert manifolds”. In: J. Topol. Anal. 2.4 (2010), pp. 469–526. arXiv: 1012.3643. url: https://doi.org/10.1142/S1793525310000409.

[Qin18]

Lizhen Qin. “On the associativity of gluing”. In: J. Topol. Anal. 10.3 (2018), pp. 585–604. arXiv: 1107 . 5527. url: https://doi.org/10.1142/S1793525318500218.

[Qin21]

Lizhen Qin. “An application of topological equivalence to Morse theory”. In: J. Fixed Point Theory Appl. 23.1 (2021), Paper No. 10, 38. arXiv: 1102.2838. url: https://doi.org/10.1007/s11784-020-00843-z.

[Sar12]

Sucharit Sarkar. “Grid diagrams and shellability”. In: Homology Homotopy Appl. 14.2 (2012), pp. 77–90. arXiv: 0901.2156. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n2.a5.

[Weh12]

Katrin Wehrheim. “Smooth structures on Morse trajectory spaces, featuring finite ends and associative gluing”. In: Proceedings of the Freedman Fest. Vol. 18. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2012, pp. 369–450. arXiv: 1205 . 0713. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2012.18.369.