Equivariant Fiber Bundles

Fiber bundle の理論では, 構造群が中心的な役割を果す。例えば, fiber bundle の分類定理は, 構造群の 分類空間を用いて記述される。

構造群は, fiber や fiber bundle に associate した principal bundle の total space に作用するが, 構造群以外の群の作用を考える場合もある。 Equivariant fiber bundle と呼ぶべきものである。

基本的に, equivariant でない bundle の理論と平行に議論できる。 例えば, principal bundle の分類定理が成り立つ。tom Dieck [Die69] や Lashof [Las82] が調べている。 Lück と Uribe の [LU14] に挙げられているものでは, 他に Hambletonと Hausmann の [HH03], Lashof や May らの [LMS83; LM86; May90], Murayama と Shimakawa の [MS95], tom Dieck の [Die87] が挙げられている。 Lück と Uribe は, それらの一般化を定義し, その分類定理を証明している。 より一般的な枠組みで考えたものとしては, Sati と Schreiber の [SS] がある。

• equivariant principal bundle の分類定理

References

[Die69]

Tammo tom Dieck. “Faserbündel mit Gruppenoperation”. In: Arch. Math. (Basel) 20 (1969), pp. 136–143. url: https://doi.org/10.1007/BF01899003.

[Die87]

Tammo tom Dieck. Transformation groups. Vol. 8. de Gruyter Studies in Mathematics. Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1987, pp. x+312. isbn: 3-11-009745-1. url: http://dx.doi.org/10.1515/9783110858372.312.

[HH03]

Ian Hambleton and Jean-Claude Hausmann. “Equivariant principal bundles over spheres and cohomogeneity one manifolds”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 86.1 (2003), pp. 250–272. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611502013722.

[Las82]

R. K. Lashof. “Equivariant bundles”. In: Illinois J. Math. 26.2 (1982), pp. 257–271.

[LM86]

R. K. Lashof and J. P. May. “Generalized equivariant bundles”. In: Bull. Soc. Math. Belg. Sér. A 38 (1986), 265–271 (1987).

[LMS83]

R. K. Lashof, J. P. May, and G. B. Segal. “Equivariant bundles with abelian structural group”. In: Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982). Vol. 19. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1983, pp. 167–176. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/019/711050.

[LU14]

Wolfgang Lück and Bernardo Uribe. “Equivariant principal bundles and their classifying spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.4 (2014), pp. 1925–1995. arXiv: 1304.4862. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2014.14.1925.

[May90]

J. P. May. “Some remarks on equivariant bundles and classifying spaces”. In: Astérisque 191 (1990). International Conference on Homotopy Theory (Marseille-Luminy, 1988), pp. 7, 239–253.

[MS95]

Mitutaka Murayama and Kazuhisa Shimakawa. “Universal equivariant bundles”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 123.4 (1995), pp. 1289–1295. url: http://dx.doi.org/10.2307/2160733.

[SS]

Hisham Sati and Urs Schreiber. Equivariant principal \(\infty \)-bundles. arXiv: 2112.13654.