Global Equivariant Homotopy Theory

群の作用を考えるときは, 群 \(G\) を固定し, \(G\) の作用を持つ空間や \(G\)-equivariant map を考えるのが基本である。ただ, 作用を部分群に制限したり, より一般に群準同型 \(H\to G\) で誘導された作用を考えたりもするので, できれば異なる群の作用の間の関係も考えたい。

そのための枠組みとして, Schwede [Sch18] による global equivariant homotopy theory がある。

空間レベルでは, orthogonal space という orthogonal spectrum の空間版や \(\mathcal {L}\)-space という \(\mathcal {L}\)-spectrum の空間版をモデルとして用いる。 Böhme [Böh19] は, \(S\)-module の空間版の \(*\)-module というものを使っている。

• orthogonal space
• \(\mathcal {L}\)-space
• \(*\)-module

当然, orthogonal spectrum を用いて, 安定ホモトピー論も展開できる。

• global stable homotopy theory

Hausmann [Hau19] は, 有限群に限れば, symmetric spectrum も使えることを示している。

Schwede は, [Sch20] で orbispace のホモトピー論に使うことを提案しているが, 実際に orbifold からその stable global homotopy type を表す orthogonal spectrum を構成しているものとして, Juran の [Jur] がある。

枠組みとしては, Linskens, Nardin, Pol [LNP] による \(\infty \)-categorical なものもある。

Schwede は, [Sch22] で algebraic \(K\)-theory の global 版を定義している。その際, parsummable category という概念を導入している。

• parsummable category
• global algebraic \(K\)-theory

Lenz [Lena] に書かれているように, global equivariant homotopy theory は, 特定の群 \(G\) に関する \(G\)-equivariant homotopy theory を含むものではない。そこで, Lenz の論文 や thesis [Len21] では, global equivariant homotopy theory と \(G\)-equivariant homotopy theory の共通の一般化として, \(G\)-global homotopy theory が提案されている。 \(G\)-global algebraic \(K\)-theory も提案されている。

• \(G\)-global homotopy theory
• \(G\)-global algebraic \(K\)-theory

Lenz [Lenb] は, unstable \(G\)-global homotopy theory の model として \(G\) の作用を持つ small category を使うことを提案している。

Operad, 特に \(E_{\infty }\)-operad の global 版については, Barrero [Bar] が考えている。

• global \(E_{\infty }\)-operad

References

[Bar]

Miguel Barrero. Operads in Unstable Global Homotopy Theory. arXiv: 2110.01674.

[Böh19]

Benjamin Böhme. “Global model structures for \(*\)-modules”. In: Homology Homotopy Appl. 21.2 (2019), pp. 213–230. arXiv: 1607. 00144. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2019.v21.n2.a12.

[Hau19]

Markus Hausmann. “Symmetric spectra model global homotopy theory of finite groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.3 (2019), pp. 1413–1452. arXiv: 1509.09270. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.1413.

[Jur]

Branko Juran. Orbifolds, Orbispaces and Global Homotopy Theory. arXiv: 2006.12374.

[Lena]

Tobias Lenz. \(G\)-Global Homotopy Theory and Algebraic \(K\)-Theory. arXiv: 2012.12676.

[Lenb]

Tobias Lenz. Categorical models of unstable \(G\)-global homotopy theory. arXiv: 2109.02067.

[Len21]

Tobias Lenz. “\(G\)-Global Algebraic \(K\)-Theory”. PhD thesis. Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Uiversität Bonn, 2021. url: https://hdl.handle.net/20.500.11811/9401.

[LNP]

Sil Linskens, Denis Nardin, and Luca Pol. Global homotopy theory via partially lax limits. arXiv: 2206.01556.

[Sch18]

Stefan Schwede. Global homotopy theory. Vol. 34. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2018, pp. xviii+828. isbn: 978-1-108-42581-0. arXiv: 1802.09382. url: https://doi.org/10.1017/9781108349161.

[Sch20]

Stefan Schwede. “Orbispaces, orthogonal spaces, and the universal compact Lie group”. In: Math. Z. 294.1-2 (2020), pp. 71–107. arXiv: 1711.06019. url: https://doi.org/10.1007/s00209-019-02265-1.

[Sch22]

Stefan Schwede. “Global algebraic K-theory”. In: J. Topol. 15.3 (2022), pp. 1325–1454. arXiv: 1912.08872.