Smooth Fiber Bundles

微分幾何学での Riemannian manifold 上の connection や curvature は, より一般に smooth fiber bundle で定義すべきである。 私が学部生の頃は, Kobayashi と Nomizu の [KN96a; KN96b] を読むべき, と言われたが, 最近ではどういう文献があるのだろうか。よく知らない。

Smooth fiber bundle \(p:E\to M\) があると, \(E\) 上の vector bundle の全射 \(Tp: T(E) \to p^{*}T(M)\) が得られる。この kernel を \(V(E)\) と表すと vector bundle の short exact sequence

が得られる。\(V(E)\) は total space \(E\) の接空間の中の fiber 方向を表す vector bundle である。それを垂直方向というと, 底空間の方向が水平方向になる。もちろん \(T(E)\) の中で水平方向を決めるためには, この short exact sequence の section \(p^{*}T(M)\to T(E)\) を決める必要がある。そして, この section が connection の一つの定義である。 そして connection が決まると covariant derivative や parallel transport などが定義できる。

• connection on smooth fiber bundle
• covariant derivative
• parallel transport

底空間の中で loop に沿って動いたとき, parallel transport により total space 上で path ができ, その終点は始点と同じファイバーの点となる。 これは構造群の作用となるので, 底空間の loop から構造群の元が定まるが, これをその loop の holonomy という。Élie Cartan [Car26] により導入された古いものなので様々な扱いがあるが, 例えば Caetano と Picken の [CP94] が分かり易いと思う。

私が smooth fiber bundle やその connection を勉強したのは, Becker-Gottlieb transfer を勉強したときだった。

• Becker-Gottlieb transfer

References

[Car26]

E. Cartan. “Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann”. In: Bull. Soc. Math. France 54 (1926), pp. 214–264. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1926__54__214_0.

[CP94]

A. Caetano and R. F. Picken. “An axiomatic definition of holonomy”. In: Internat. J. Math. 5.6 (1994), pp. 835–848. url: https://doi.org/10.1142/S0129167X94000425.

[KN96a]

Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. I. Wiley Classics Library. Reprint of the 1963 original, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996, pp. xii+329. isbn: 0-471-15733-3.

[KN96b]

Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. II. Wiley Classics Library. Reprint of the 1969 original, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996, pp. xvi+468. isbn: 0-471-15732-5.