Witt group

Witt group は, 最初は体上の symmetric bilinear form の isometry class のある同値類の成す群として, Witt [Wit37] により定義された。 その定義が拡張され, 可換環, そして scheme に対しても定義されるようになった。 Woolf の [Woo08] では, Knebusch の [Kne77] が参照されている。

• symmetric bilinear form を用いた可換環の Witt group
• symmetric bilinear form を持つ vector bundle を用いた scheme の Grothendieck-Witt group

更には, duality を持つ exact category, そして Balmer により triangulated category [Bal00; Bal01a; Bal01b] にまで拡張された。

Balmer の survey [Bal05] がある。

• Balmer の triangular Witt group

Woolf の [Woo08] では, \(L\)-group や Witt space との関連まで考察されている。

他にも様々な一般化が考えられている。

• Davydov, Müger, Nikshych, Ostrik の braided fusion category の Witt group [Dav+13]
• Ananyevskiy の derived Witt group [Ana16]
• Goyvaerts と Meier [GM] の duality を持つ braided monoidal category の Witt group

References

[Ana16]

Alexey Ananyevskiy. “On the relation of special linear algebraic cobordism to Witt groups”. In: Homology Homotopy Appl. 18.1 (2016), pp. 204–230. arXiv: 1212.5780. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n1.a11.

[Bal00]

Paul Balmer. “Triangular Witt groups. I. The 12-term localization exact sequence”. In: \(K\)-Theory 19.4 (2000), pp. 311–363. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007844609552.

[Bal01a]

Paul Balmer. “Triangular Witt groups. II. From usual to derived”. In: Math. Z. 236.2 (2001), pp. 351–382. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004834.

[Bal01b]

Paul Balmer. “Witt cohomology, Mayer-Vietoris, homotopy invariance and the Gersten conjecture”. In: \(K\)-Theory 23.1 (2001), pp. 15–30. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1017594924542.

[Bal05]

Paul Balmer. “Witt groups”. In: Handbook of \(K\)-theory. Vol. 1, 2. Springer, Berlin, 2005, pp. 539–576. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-27855-9_11.

[Dav+13]

Alexei Davydov, Michael Müger, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “The Witt group of non-degenerate braided fusion categories”. In: J. Reine Angew. Math. 677 (2013), pp. 135–177. arXiv: 1009.2117.

[GM]

Isar Goyvaerts and Ehud Meir. The Witt group of a braided Monoidal category. arXiv: 1412.3417.

[Kne77]

Manfred Knebusch. “Symmetric bilinear forms over algebraic varieties”. In: Conference on Quadratic Forms—1976 (Proc. Conf., Queen’s Univ., Kingston, Ont., 1976). Kingston, Ont.: Queen’s Univ., 1977, 103–283. Queen’s Papers in Pure and Appl. Math., No. 46.

[Wit37]

Ernst Witt. “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. In: J. Reine Angew. Math. 176 (1937), pp. 31–44. url: https://doi.org/10.1515/crll.1937.176.31.

[Woo08]

Jon Woolf. “Witt groups of sheaves on topological spaces”. In: Comment. Math. Helv. 83.2 (2008), pp. 289–326. arXiv: math/0510196. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/125.