Digital Topology

Digital image をトポロジーの手法で調べる digital topology という分野があるということは, かなり前から耳にしていたが, その数学的な基礎がどうなっているのかがよく分からなかった。

2次元の画像データの場合, 座標とRGBの値の組の集まりで表されるので, \(\Z ^{5}\) の部分集合として考えるのは誰でも思うことだろう。 実際, Boxer の [Box99] では, \(\Z ^{k}\) の部分集合として定義されている。 現在では, より一般に, 抽象的に digital image の概念が定義されている。 例えば, Staecker の [Sta21] では, 集合 \(X\) とその上の symmetric かつ antireflexive relation の組として定義されている。

• digital image

その Staecker の論文によると, このような抽象的な digital image の定義に基づいた digital topology は Rosenfeld の仕事 [Ros86] に起源があるようである。 連続写像の digital 版を始めとして, その枠組みで, 位相空間に関係する概念の digital 版が色々定義されている。 そして digital image のホモトピー論も展開されている。 それについては, Staecker の [Sta21] を見るのが良いと思う。

Boxer と Staecker [BS18; BS17] によると, ホモトピーに関しては, いくつかの選択肢があるようである。

• digital homotopy
• strong homotopy
• punctured homotopy

Staecker の [Sta21] では, digital homotopy と strong homotopy が比較されている。

ホモロジーも定義されている。位相空間のように, simplicial singular homology や cubical singular homology など, いくつかの選択肢がある。

基本群については, Lupton, Oprea, Scoville [LOS21] によるものがある。Lupton と Scoville [LS22] は, digital image をグラフとみなしたものの clique complex の edge group と同型になることを示している。

他には, 次のような概念の digital 版が定義されている。

• digital Lusternik-Schnierelmann category [VB20]
• digital topological complexity [Kİ18; IKa; IKb]
• digital higher topological complexity [İK20]
• digital Hopf fibration [LOS23]
• digital Lefschetz number [AKS22]
• fixed point theory [BS20; Box20b; Box20a; Box21; Box22]

References

[AKS22]

Muhammad Sirajo Abdullahi, Poom Kumam, and P. Christopher Staecker. “Digital Lefschetz numbers and related fixed point theorems”. In: Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fı́s. Nat. Ser. A Mat. RACSAM 116.4 (2022), Paper No. 173, 23. arXiv: 2004.07550. url: https://doi.org/10.1007/s13398-022-01318-1.

[Box20a]

Laurence Boxer. “Approximate fixed point property for digital trees and products”. In: Bull. Int. Math. Virtual Inst. 10.3 (2020), pp. 595–602. arXiv: 2004.03394.

[Box20b]

Laurence Boxer. “Fixed point sets in digital topology, 2”. In: Appl. Gen. Topol. 21.1 (2020), pp. 111–133. arXiv: 1904.00534. url: https://doi.org/10.4995/agt.2020.12101.

[Box21]

Laurence Boxer. “Convexity and freezing sets in digital topology”. In: Appl. Gen. Topol. 22.1 (2021), pp. 121–137. arXiv: 2005.09713. url: https://doi.org/10.4995/agt.2021.14185.

[Box22]

Laurence Boxer. “Remarks on fixed point assertions in digital topology, 5”. In: Appl. Gen. Topol. 23.2 (2022), pp. 437–451. arXiv: 2111.07813.

[Box99]

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[BS17]

Laurence Boxer and P. Christopher Staecker. “Homotopy relations for digital images”. In: Note Mat. 37.1 (2017), pp. 99–126. arXiv: 1509.06576. url: https://doi.org/10.1285/i15900932v37n1p99.

[BS18]

Laurence Boxer and P. Christopher Staecker. “Remarks on pointed digital homotopy”. In: Topology Proc. 51 (2018), pp. 19–37. arXiv: 1503.03016.

[BS20]

Laurence Boxer and P. Christopher Staecker. “Fixed point sets in digital topology, 1”. In: Appl. Gen. Topol. 21.1 (2020), pp. 87–110. arXiv: 1901.11093. url: https://doi.org/10.4995/agt.2020.12091.

[IKa]

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[LOS21]

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[LOS23]

Greg Lupton, John Oprea, and Nicholas A. Scoville. “The digital Hopf construction”. In: Topology Appl. 326 (2023), Paper No. 108405. arXiv: 2002.03027. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108405.

[LS22]

Gregory Lupton and Nicholas A. Scoville. “Digital fundamental groups and edge groups of clique complexes”. In: J. Appl. Comput. Topol. 6.4 (2022), pp. 529–558. arXiv: 1910.08189. url: https://doi.org/10.1007/s41468-022-00095-5.

[Ros86]

Azriel Rosenfeld. ““Continuous” functions on digital pictures”. In: Pattern Recognition Letters 4.3 (1986), pp. 177–184.

[Sta21]

P. Christopher Staecker. “Digital homotopy relations and digital homology theories”. In: Appl. Gen. Topol. 22.2 (2021), pp. 223–250. arXiv: 2106.01171. url: https://doi.org/10.4995/agt.2021.13154.

[VB20]

Tane Vergili and Ayşe Borat. “Digital Lusternik-Schnirelmann category of digital functions”. In: Hacet. J. Math. Stat. 49.4 (2020), pp. 1414–1422. url: https://doi.org/10.15672/hujms.559796.