Coarse Homology and Cohomology

Coarse space に対し cohomology を定義したのは Roe [Roe93] であった。

また \(K\)-homology の coarse version もある。Block と Weinberger により [BW92] で定義された uniformly finite homology というものもある。

• coarse cohomology
• coarse \(K\)-homology
• uniformly finite homology

その後 coarse space の homology や cohomology の理論は, ホモトピー論的な方向に大きく発展している。 例えば, homology の公理化は Bunke と Engel [BE20] により, bornological coarse space の圏上の stable \((\infty ,1)\)-category に値を持つ関手として得られている。 Cohomology については, [BE] で定義され, 調べられている。

層の cohomology については, Hartmann [Har20; Har] により考えられている。

• coarse sheaf cohomology

Equivariant 版の公理は, Wulff の [Wul22] で提案されている。

• equivariant coarse homology and cohomology

Algebraic \(K\)-theory の coarse 版もある。Bunke と Cisinski [BC20] による。

• coarse algebraic \(K\)-theory

References

[BC20]

Ulrich Bunke and Denis-Charles Cisinski. “A universal coarse \(K\)-theory”. In: New York J. Math. 26 (2020), pp. 1–27. arXiv: 1705.05080.

[BE]

Ulrich Bunke and Alexander Engel. Coarse cohomology theories. arXiv: 1711.08599.

[BE20]

Ulrich Bunke and Alexander Engel. Homotopy theory with bornological coarse spaces. Vol. 2269. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. vii+243. isbn: 978-3-030-51335-1; 978-3-030-51334-4. arXiv: 1607.03657. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-51335-1.

[BW92]

Jonathan Block and Shmuel Weinberger. “Aperiodic tilings, positive scalar curvature and amenability of spaces”. In: J. Amer. Math. Soc. 5.4 (1992), pp. 907–918. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152713.

[Har]

Elisa Hartmann. Coarse sheaf cohomology. arXiv: 2205.01635.

[Har20]

Elisa Hartmann. “Coarse cohomology with twisted coefficients”. In: Math. Slovaca 70.6 (2020), pp. 1413–1444. arXiv: 1710.06725. url: https://doi.org/10.1515/ms-2017-0440.

[Roe93]

John Roe. “Coarse cohomology and index theory on complete Riemannian manifolds”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 104.497 (1993), pp. x+90.

[Wul22]

Christopher Wulff. “Equivariant coarse (co-)homology theories”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 18 (2022), Paper No. 057, 62. arXiv: 2006.02053. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2022.057.