商空間の位相

学部の位相空間論ではあまり扱わないが, トポロジーでよく使うものに, 等化位相がある。

• 等化位相 (identification topology) あるいは商位相 (quotient topology)
• 等化写像あるいは商写像 (quotient map)

等化位相は, 空間を張り合わせて新しい空間を作るときに, 必要不可欠な概念である。そのため, 代数的トポロジーの教科書に, 基本的な性質が書かれていたりする。例えば, 小松, 中岡, 菅原の [小中菅67] でも, 第1章の§1で等化位相を扱っている。重要なことは以下の事実である。

• 等化写像 \[ \pi : \widetilde{X} \longrightarrow X \] が与えられたとき \[ f : X \longrightarrow Y \] が連続であるための必要十分条件は, \(f\circ \pi \) が連続であることである。
• 等化写像の合成は等化写像
• \(X\) が compact で \(Y\) が Hausdorff ならば, 全射 \[ f : X \longrightarrow Y \] は等化写像である。

困るのは, 等化写像と直積があまり相性が良くないことである。

• 一般には2つの等化写像の直積は, 等化写像とは限らない。 (例えば, Munkres の本 [Mun00] の p. 143 Example 7 など。)
• \(Y\) が局所コンパクト Hausdorff のとき, 任意の等化写像 \[ \pi : \widetilde{X} \longrightarrow X \] に対し \[ \pi \times 1_Y : \widetilde{X}\times Y \longrightarrow X\times Y \] も等化写像である。

最後の性質は, J.H.C. Whitehead [Whi48] による。 等化位相と直積の関係について, より詳しくは, Michael の [Mic68b; Mic68a] や Hájek の [Háj66] をみるとよい。例えば, Michael は, [Mic68a] で bi-quotient map という概念を導入し, bi-quotient map の任意の直積は bi-quotient map になることを示している。Hajek は limit lifting という性質を考えている。

• bi-quotient map
• limit lifting map

一般に, quotient map の 部分空間への制限も quotient map とは限らないが, 部分空間へ制限できる hereditarilyy quotient map というものもある。 定義は, Michael の論文 [Mic68a] にある。 他にも, Arhangel\('\)skiĭ の論文 [Arh63] もみるとよい。

• hereditarily quotient map

これらについては, [Tam18] の Appendix A にもまとめた。

References

[Arh63]

A. Arhangel\('\)skiı̆. “Some types of factor mappings and the relations between classes of topological spaces”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 153 (1963), pp. 743–746.

[Háj66]

Otomar Hájek. “Notes on quotient maps”. In: Comment. Math. Univ. Carolinae 7 (1966), pp. 319–323. url: http://www.dml.cz/handle/10338.dmlcz/105065.

[Mic68a]

Ernest Michael. “Bi-quotient maps and Cartesian products of quotient maps”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 18.fasc. 2 (1968), 287–302 vii (1969).

[Mic68b]

Ernest Michael. “Local compactness and Cartesian products of quotient maps and \(k\)-spaces”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 18.fasc. 2 (1968), 281–286 vii (1969).

[Mun00]

James R. Munkres. Topology. 2nd. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall Inc., 2000, pp. xvi+537.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.

[Whi48]

J. H. C. Whitehead. “Note on a theorem due to Borsuk”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), pp. 1125–1132. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1948-09138-8.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.