Stratifications and Group Actions

群作用と stratified space の関係は2つある。1つは, 群 \(G\) が多様体 \(M\) に作用するとき商空間 \(M/G\) に定まる stratification である。

• 多様体 \(M\) と有限群 \(G\) に対し, \(M/G\) の stratification [DS90]
• 多様体 \(M\) と compact Lie群 \(G\) に対し \(M/G\) の stratification [Dav78]

この例のように, desingularization が存在する場合がある。Guardia と Padilla は, [GP08] で unfolding という「特異点の解消」により intersection homology を定義することを考えている。Unfolding は Saralegi により [Sar94] で定義されたものである。

• unfolding

群作用と stratification とのもう1つの関係は, \(G\) の作用と compatible な stratification, つまり equivariant stratification である。 群の作用を持つ代数多様体を考えるときには, 自然に現われる概念である。

Harada と Henriques と Holm の [HHH05]で, その equivariant generalized cohomology が調べられている。

Tanabe [Tan23] によると, 実代数群の作用を持つ実代数多様体が invariant semialgebraic set から成る \(C^{\omega }\)-Whitney stratification を持つことは, Mather [Mat76] と Vassiliev [Vas88] により独立に示されたようである。

群の作用を持つ可微分多様体の一般化として Lie groupoid があるが, Yu の [Yu] に書かれているように, proper Lie groupoid は canonical stratification と呼ばれる stratification と呼ぶ。Tanabe は, semialgebraic set や semianalytic set や o-minimal structure などでの definable Lie groupoid の canonical stratification を調べている。

Weber は [Web] で equivariant stratifold を定義し, その bordism により定義される homology theory について述べている。更に, [Web07] では, Euler stratifold という stratifold を用いて Euler homology という homology theory を定義している。

References

[Dav78]

Michael Davis. “Smooth \(G\)-manifolds as collections of fiber bundles”. In: Pacific J. Math. 77.2 (1978), pp. 315–363. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102806454.

[DS90]

Karl Heinz Dovermann and Reinhard Schultz. Equivariant surgery theories and their periodicity properties. Vol. 1443. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1990, pp. vi+227. isbn: 3-540-53042-8.

[GP08]

T. Guardia and G. Padilla. “On the functoriality of stratified desingularizations”. In: Extracta Math. 23.2 (2008), pp. 139–153. arXiv: 0806.0174.

[HHH05]

Megumi Harada, André Henriques, and Tara S. Holm. “Computation of generalized equivariant cohomologies of Kac-Moody flag varieties”. In: Adv. Math. 197.1 (2005), pp. 198–221. arXiv: math/0409305. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.10.003.

[Mat76]

John N. Mather. “Infinite dimensional group actions”. In: Colloque “Analyse et Topologie” en l’Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974). Astérisque, No. 32-33. Soc. Math. France, Paris, 1976, pp. 165–172.

[Sar94]

Martin Saralegi. “Homological properties of stratified spaces”. In: Illinois J. Math. 38.1 (1994), pp. 47–70. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255986886.

[Tan23]

Masato Tanabe. “Canonical stratification of definable Lie groupoids”. In: J. Singul. 26 (2023), pp. 63–75. arXiv: 2205 . 13306. url: https://doi.org/10.15372/sjnm20230105.

[Vas88]

V. A. Vassiliev. Lagrange and Legendre characteristic classes. Vol. 3. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. Translated from the Russian. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1988, pp. x+268. isbn: 2-88124-661-3.

[Web]

Julia Weber. Equivariant stratifold homology theories. arXiv: math/ 0606559.

[Web07]

Julia Weber. “Euler homology”. In: Math. Z. 256.1 (2007), pp. 57–74. arXiv: math/0606558. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-006-0059-2.

[Yu]

Hao Yu. On a new geometric homology theory. arXiv: 2004.07698.