組紐の基本

Braid 群については様々な解説がある。有名なのは, Birman の [Bir74] だろう。 より新しいものとしては, やはり Birman (と Brendle) による [BB05] がある。

ホモトピー論的には, (unordered) configuration space の基本群という定義から始めるのが良いかもしれない。

• Configuration space による braid群と pure braid 群の定義
• 生成元と関係式による記述
• 穴の開いた円板の mapping class group としての記述
• Sergiescu による graph を用いた braid 群の表示 [Ser93]

Braid 群は, 穴の開いた円板の mapping class group なので, braid群の性質をどれだけ mapping class group に一般化することが出来るか, というのは自然な疑問である。これについては, Paris の [Par06] という survey がある。

生成元と関係式による記述は, braid 群の作用を与えるときに必要になる。多くの場合, braid群の作用は, configuration space とも mapping class group とも関係のない状況で発見されるからである。 有名なもの以外に, Birman と Ko と Lee による表示 [BKL98] もある。

\(n\)本の braid は, \(n\)個の点の並べ替えを与えるので, 対称群への全射 \[ \mathrm{Br}_n \longrightarrow \Sigma _n \] がある。この写像の kernel の元を pure braid という。 つまり点の並べ替えを行なわない braid である。また pure braid の中に, 一本でも除くと自明になってしまう braid 達が含まれている。そのような braid を Brunnian braid という。 Levinson の研究 [Lev73] が最初らしい。

• pure braid
• Brunnian braid
• Brunnian braid 達の成す部分群は free であり pure braid group の正規部分群である。

References

[BB05]

Joan S. Birman and Tara E. Brendle. “Braids: a survey”. In: Handbook of knot theory. Elsevier B. V., Amsterdam, 2005, pp. 19–103. arXiv: math/0409205. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044451452-3/50003-4.

[Bir74]

Joan S. Birman. Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1974, pp. ix+228.

[BKL98]

Joan Birman, Ki Hyoung Ko, and Sang Jin Lee. “A new approach to the word and conjugacy problems in the braid groups”. In: Adv. Math. 139.2 (1998), pp. 322–353. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1761.

[Lev73]

H. Levinson. “Decomposable braids and linkages”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 178 (1973), pp. 111–126. url: https://doi.org/10.2307/1996692.

[Par06]

Luis Paris. “From braid groups to mapping class groups”. In: Problems on mapping class groups and related topics. Vol. 74. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, pp. 355–371. arXiv: math/0412024. url: https://doi.org/10.1090/pspum/074/2264551.

[Ser93]

Vlad Sergiescu. “Graphes planaires et présentations des groupes de tresses”. In: Math. Z. 214.3 (1993), pp. 477–490. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02572418.