Braid 群の (局所係数の) コホモロジー

Braid群 \(\mathrm{Br}_{n}\) (やその一般化) の (co)homology は, 当然, 群の (co)homology と考えることもできるが, 複素平面の unordered configuration space \(\mathrm{Conf}_{n}(\bbC )/\Sigma _{n}\) が \(K(\mathrm{Br}_{n},1)\) であるから, configuration space や arrangement の complement の (co)homology と考えることもできる。 そして, そのような視点からは, 局所係数の (co)homology がよく調べられている。

目にしたことを挙げると以下のようになる。

• De Concini と Salvetti [DS96; DS00] が braid 群の free resolution を構成し, それにより, 任意の局所係数を係数に持つ braid 群の cohomology を計算する algorithm を得ている。
• Settepanella の [Set09] での計算。
• 任意の体 \(\F \) に対し, stable braid group \(\mathrm{Br}_{\infty }\) の Burau representation を局所係数とする homology が \(H_*(\Omega ^2S^3\langle 3\rangle ;\F )\) と同型であることが, Fred Cohen と Pakianathan [CP07] により示されている。
• Markaryan [Mar96] による \(\Q [q^{\pm 1}]\) 係数の homology の計算。
• Coxeter system \((W,S)\) に対し, その Artin group \(G_W\) の \(k[q^{\pm 1}]\) 係数の homology は, \(W\) に associate した discriminant singularity の Milnor fiber の自明な \(k\) 係数の homology と一致する。[Cal05]
• Callegaro [Cal05] による \(k[q^{\pm 1}]\) 係数と \(k[[q^{\pm 1}]]\) 係数の cohomology の関係。
• Callegaro の [Cal] による \(\Z [q^{\pm 1}]\) 係数の homology の計算。
• Callegaro と Moroni と Salvetti [CMS; CMS10] によ る \(\Q [q^{\pm 1}, t^{\pm 1}]\) 係数のコホモロジーの計算。
• Callegaro と Marin [CM] による complex reflection group に associate した braid 群の cohomology の計算。

References

[Cal]

Filippo Callegaro. The homology of the Milnor fiber for classical braid groups. arXiv: math/0511453.

[Cal05]

F. Callegaro. “On the cohomology of Artin groups in local systems and the associated Milnor fiber”. In: J. Pure Appl. Algebra 197.1-3 (2005), pp. 323–332. arXiv: math/0405307. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.10.002.

[CM]

Filippo Callegaro and Ivan Marin. Homology computations for complex braid groups. arXiv: 1011.4375.

[CMS]

Filippo Callegaro, Davide Moroni, and Mario Salvetti. Cohomology of affine Artin groups and applications. arXiv: 0705.2823.

[CMS10]

Filippo Callegaro, Davide Moroni, and Mario Salvetti. “The \(K(\pi ,1)\) problem for the affine Artin group of type \(B̃_n\) and its cohomology”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 12.1 (2010), pp. 1–22. arXiv: 0705.2830. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/187.

[CP07]

F. R. Cohen and J. Pakianathan. “The stable braid group and the determinant of the Burau representation”. In: Proceedings of the Nishida Fest (Kinosaki 2003). Vol. 10. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 117–129. arXiv: math/0509577. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2007.10.117.

[DS00]

C. De Concini and M. Salvetti. “Cohomology of Coxeter groups and Artin groups”. In: Math. Res. Lett. 7.2-3 (2000), pp. 213–232.

[DS96]

C. De Concini and M. Salvetti. “Cohomology of Artin groups: Addendum: “The homotopy type of Artin groups” [Math. Res. Lett. 1 (1994), no. 5, 565–577; MR1295551 (95j:52026)] by Salvetti”. In: Math. Res. Lett. 3.2 (1996), pp. 293–297.

[Mar96]

N. S. Markaryan. “Homology of braid groups with nontrivial coefficients”. In: Mat. Zametki 59.6 (1996), pp. 846–854, 960. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02307210.

[Set09]

Simona Settepanella. “Cohomology of pure braid groups of exceptional cases”. In: Topology Appl. 156.5 (2009), pp. 1008–1012. arXiv: math/0505566. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2008.12.007.