Braid群に関連した話題や応用

Braid 群に関係したものを全て挙げれば膨大な数になる。 とりあえず目にしたものをメモすることにする。

コホモロジーや algebraic \(K\)-theory などのホモロジー代数的不変量は様々な人が計算している。 コホモジーについては, このページにまとめた。 \(L\)-theory については, Roushon [Rou] が調べている。

Braid群と関連の深い代数的対象として, Iwahori-Hecke algebra がある。 Braid 群との関係については, 例えば Bigelow の [Big04] や [Big06] を見るとよい。Bigelow は, ICM 2002 で braid 群の表現について講演した, らしい [Big02]。

• Hecke algebra とその一般化

Modular form とも関係あるようである。Gannon の [Gan] など。de Luca による2種類のアルファベットからなる word から回文を作る操作 [Luc97] にも braid 群が関係している [KR08] らしい。

空間への braid 群の作用は, reflection arrangementのcomplement の universal cover へのものが代表的であるが, 他にも色々考えられる。 Weyl 群の表現に関する Springer theory [Gri] など。Treumann の [Tre09] は Rossmann による topological な作用 [Ros95] の解説を含んでいる。

Braid 群の圏に対する作用も, 様々な場面で見掛けるようになった。

• braid 群の作用する圏

超平面配置を特異点とみなすと, braid 群は braid arrangement という特別な特異点に関する情報を持ったものとみなすことができる。 より複雑な特異点を調べるときには, braid monodromy として比較対象として用いられたりする。

Braid 群の作用とも関係あるが, 様々な代数的あるいは圏論的構造の “braided version” が作られるようになった。例えば, braided monoidal category や braided vector space などである。

• braiding を持つもの達

数理物理との関係では, Knizhnik-Zamolodchikov 方程式との関連がある。

• Knizhnik-Zamolodchikov 方程式と関連した話題

大道芸のジャグリングのパターンを数学的に扱う際にも braid 群が現われるらしい。Devadoss と Mugno の [DM07] など。

暗号への応用を考えている人もいる。[Gar+] など。

References

[Big02]

S. Bigelow. “Representations of braid groups”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 37–45. arXiv: math/0304212.

[Big04]

Stephen Bigelow. “Homological representations of the Iwahori-Hecke algebra”. In: Proceedings of the Casson Fest. Vol. 7. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2004, 493–507 (electronic). arXiv: math/0412516. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2004.7.493.

[Big06]

Stephen Bigelow. “Braid groups and Iwahori-Hecke algebras”. In: Problems on mapping class groups and related topics. Vol. 74. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 285–299. arXiv: math/0505064.

[DM07]

Satyan L. Devadoss and John Mugno. “Juggling braids and links”. In: Math. Intelligencer 29.3 (2007), pp. 15–22. arXiv: math/0602476. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02985685.

[Gan]

T. Gannon. The algebraic meaning of genus-zero. arXiv: math/0512248.

[Gar+]

D. Garber, S. Kaplan, M. Teicher, B. Tsaban, and U. Vishne. Length-based conjugacy search in the Braid group. arXiv: math/0209267.

[Gri]

Mikhail Grinberg. A generalization of Springer theory using nearby cycles. arXiv: math/9802042.

[KR08]

Christian Kassel and Christophe Reutenauer. “A palindromization map for the free group”. In: Theoret. Comput. Sci. 409.3 (2008), pp. 461–470. arXiv: 0802.4359. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2008.09.011.

[Luc97]

Aldo de Luca. “Sturmian words: structure, combinatorics, and their arithmetics”. In: Theoret. Comput. Sci. 183.1 (1997), pp. 45–82. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(96)00310-6.

[Ros95]

W. Rossmann. “Picard-Lefschetz theory for the coadjoint quotient of a semisimple Lie algebra”. In: Invent. Math. 121.3 (1995), pp. 531–578. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01884311.

[Rou]

S. Roushon. Surgery groups of the fundamental groups of hyperplane arrangement complements. arXiv: 0909.2133.

[Tre09]

David Treumann. “A topological approach to induction theorems in Springer theory”. In: Represent. Theory 13 (2009), pp. 8–18. arXiv: 0809.2801. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1088-4165-09-00342-2.