モデル圏の視点から見た fibration

Fibration という言葉は様々な分野で用いられるが, ここでいう fibration は, Serre fibration や Hurewicz fibration のことである。

Quillen によるモデル圏の概念の導入により, fibration の概念は, cofibration や weak (homotopy) equivalence と共に, モデル圏を構成する一つのデータとみなすことができるようになった。

• 位相空間の圏のモデル構造 (Quillen [Qui67] によるものと Strøm [Str72] によるもの)

Quillen のモデル構造では, fibration は Serre fibration, cofibration は relative CW複体の inclusion (の retract), weak equivalence は, 弱ホモトピー同値だった。Strøm のモデル構造では, fibration は Hurewicz fibration, cofibration は NDR pair の inclusion, weak equivalence はホモトピー同値である。 モデル圏では, cofibration と weak equivalence により fibration を特徴付けることができるので, Serre fibration や Hurewicz fibration も, 対応する cofibration と weak equivalence を用いて, 特徴付けられるはずである。

• Hurewicz fibration は DR pair に対し right lifting property を持つ。
• NDR pair は Hurewicz fibration かつホモトピー同値である写像に対し, left lifting property を持つ。
• Serre fibration は, 包含写像がホモトピー同値であるCW複体対に対し, right lifting property を持つ。
• CW複体対は, Serre fibration かつホモトピー同値である写像に対し, left lifting property を持つ。

特に, Hurewicz fibration が closed cofibration に対し covering homotopy extension property を持つという事実は, この4つの内の最初の性質の特別な場合である。

モデル圏の普及により, fibration は, 位相空間の圏以外の圏でも考えられるようになった。 典型的な例を知っているとよい。

• 単体的集合の圏の fibration
• chain complex の圏の fibration

References

[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).

[Str72]

Arne Strøm. “The homotopy category is a homotopy category”. In: Arch. Math. (Basel) 23 (1972), pp. 435–441. url: https://doi.org/10.1007/BF01304912.