余単体的空間のホモトピースペクトル系列

余単体的空間 や 余単体的スペクトラムなど, モデル圏の余単体的対象に対しては, ホモトピー群やホモトピー集合を計算する, いわゆる homotopy spectral sequence が定義されることが多い。

一般のsimplicial model category での cosimplicial resolution と homotopy spectral sequence については, Bousfield の [Bou03] がある。ホモトピー圏での group object の class を指定することにより, resolution を定義している。

よくあるパターンは, monad (triple) から cosimplicial object ができ, そこから homotopy spectral sequenceができる, というものである。代表的なのは, Adams型のスペクトル系列である。

• Adams型のスペクトル系列

他には, 以下のようなものがある。

• van Kampen spectral sequence [Sto90]
• Hurewicz spectral sequence [Bla90]
• Homotopy limit に対する homotopy spectral sequence, 例えば homotopy fixed point の homotopy spectral sequence
• cosimplicial space の homology spectral sequence
• Barratt の desuspension spectral sequence (Goerss の [Goe93])

写像の成す空間や bundleのsection の成す空間の ホモトピー群を計算する spectral sequence ([Fed56] や [Sch73]など) も cosimplicial space の homotopy spectral sequence とみなすことができる。

Multiplicative structure については, Duggerの [Duga; Dugb] にまとめられている。

References

[Bla90]

David A. Blanc. “A Hurewicz spectral sequence for homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 318.1 (1990), pp. 335–354. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001242.

[Bou03]

A. K. Bousfield. “Cosimplicial resolutions and homotopy spectral sequences in model categories”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 1001–1053 (electronic). arXiv: math/0312531. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.1001.

[Duga]

Daniel Dugger. Multiplicative structures on homotopy spectral sequences I. arXiv: math/0305173.

[Dugb]

Daniel Dugger. Multiplicative structures on homotopy spectral sequences II. arXiv: math/0305187.

[Fed56]

Herbert Federer. “A study of function spaces by spectral sequences”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), pp. 340–361.

[Goe93]

Paul G. Goerss. “Barratt’s desuspension spectral sequence and the Lie ring analyzer”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 44.173 (1993), pp. 43–85. url: https://doi.org/10.1093/qmath/44.1.43.

[Sch73]

Reinhard Schultz. “Homotopy decompositions of equivariant function spaces. I”. In: Math. Z. 131 (1973), pp. 49–75.

[Sto90]

Christopher R. Stover. “A van Kampen spectral sequence for higher homotopy groups”. In: Topology 29.1 (1990), pp. 9–26. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(90)90022-C.