CW複体の素数の集合に関する局所化

Bousfield と Kan や Dror などのおかげで, 現在では非常に抽象的な設定で, 空間の 局所化 や 完備化が議論できるようになったが, そのような抽象的な局所化や完備化を学ぶ前に, まずは, 具体的な CW複体の場合で空間の局所化という概念に慣れておくのがよい, と思う。 具体的には, 素数 \(p\) に関し, CW複体 \(X\) を \(p\) で局所化した空間 \(X_{(p)}\) の構成である。

日本語なら戸田と三村の「ホモトピー論」[戸三75] の第4章にある。 Hilton と Mislin と Roitberg の本 [HMR75] もよい。

Fiedorowicz が type した Adams の lecture note が arXiv にある [Ada75] ので, まずはその Introduction を読んでみるのも良いと思う。

アーベル群の素数 \(p\) に関する局所化とは, \(p\) 以外の素数 \(q\) について \(\frac {1}{q}\) を追加し, \(p\)-torsion と torsion free な部分だけ残すようにする操作であるが, 更に \(\frac {1}{p}\) も追加すると, torsion free な部分に \(\Q \) を tensor した \(\Q \) 上の ベクトル空間になる。 これを \(0\) に関する局所化, あるいは有理化という。 空間レベルでももちろん可能で, \(X_{(0)}\) と表す。

• rational homotopy

2つの空間 \(X\) と \(Y\) が, 各 \(p\) に関する局所化でホモトピー同値 \(X_{(p)}\simeq Y_{(p)}\) ならば, 元の \(X\) と \(Y\) もホモトピー同値になりそうであるが, これは一般には成り立たない。 Wilkerson の [<empty citation>] では, Hilton と Roitberg の [HR69] で構成された \(H\)-space \(E_{7w}\) が挙げられている。Mislin [Mis71] は, このような現象を調べるため genus という概念を導入した。

• 局所化により定義された genus

もっとも, genus という言葉は, 多様体に対しては別の意味で使われることが多いので, 別の用語を使った方が良いと思う。

References

[Ada75]

J. F. Adams. Localisation and completion. With an addendum on the use of Brown-Peterson homology in stable homotopy, Lecture notes by Z. Fiedorowicz on a course given at the University of Chicago in Spring, 1973. University of Chicago, Department of Mathematics, Chicago, IL, 1975, pp. ii+141. arXiv: 1012.5020.

[HMR75]

Peter Hilton, Guido Mislin, and Joe Roitberg. Localization of nilpotent groups and spaces. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1975, p. x 156. isbn: 0-7204-2716-9.

[HR69]

Peter Hilton and Joseph Roitberg. “On principal \(S^{3}\)-bundles over spheres”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 91–107. url: https://doi.org/10.2307/1970683.

[Mis71]

Guido Mislin. “The genus of an \(H\)-space”. In: Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Wash., 1971). Berlin: Springer, 1971, 75–83. Lecture Notes in Math., Vol. 249.

[戸三75]

戸田宏 and 三村護. ホモトピー論. Vol. 3. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.