Equivariant Symmetric Monoidal Categories

無限ループ空間 (connective spectrum) と symmetric monoidal category の対応 (Thomason の[Tho95] や Mandell の [Man10]) から, 群作用を持つ無限ループ空間を構成するためには, 群作用を持つ symmetric monooidal category を考えるのが一つの方法である。

実際, そのようなものは Hill と Hopkins [HH] により \(G\)-equivaraint symmetric monoidal category の名前で導入されている。 また, 彼等以前に, 群作用を持つ category の monoidal structure については, Guillou と May [GM17] が考えている。 その後, Guillou, May, Merling, Osorno [Gui+20] は operad を用いて, genuine symmetric monoidal \(G\)-category を定義し, その分類空間が genuine \(E_{\infty }\)-\(G\)-space になることを示している。

• \(G\)-equivariant symmetric monoidal category
• genuine symmetric monoidal \(G\)-category
• naive symmetric monoidal \(G\)-category

Lenz [Len] は, genuine symmetric monoidal \(G\)-category の 成す quasicateogry と naive symmetric monoidal \(G\)-category の成す quasicategory が同値になるように weak equivalence を定義している。

References

[GM17]

Bertrand J. Guillou and J. Peter May. “Equivariant iterated loop space theory and permutative \(G\)-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.6 (2017), pp. 3259–3339. arXiv: 1207 . 3459. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3259.

[Gui+20]

Bertrand J. Guillou, J. Peter May, Mona Merling, and Angélica M. Osorno. “Symmetric monoidal \(G\)-categories and their strictification”. In: Q. J. Math. 71.1 (2020), pp. 207–246. arXiv: 1809.03017. url: https://doi.org/10.1093/qmathj/haz034.

[HH]

Michael A. Hill and Michael J. Hopkins. Equivariant symmetric monoidal structures. arXiv: 1610.03114.

[Len]

Tobias Lenz. Genuine vs. naı̈ve symmetric monoidal \(G\)-categories. arXiv: 2203.02277.

[Man10]

Michael A. Mandell. “An inverse \(K\)-theory functor”. In: Doc. Math. 15 (2010), pp. 765–791. arXiv: 1002.3622.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).