Dialgebra

Dialgebra とは, Leibniz algebra の “universal enveloping algebra” に現われる代数的構造であり, Loday により [Lod01] で導入された。

Kravchenko と Polyak の [KP11] によると, 正確には Leibniz algebra に対応するものは diassociative algebra あるいは, associative dialgebra と呼ぶようである。それは, associative ではない dialgebra を考える必要もあるからで, Lolesnikov と Voronin の[KV13] では, alternative dialgebra や Jordan dialgebra などが挙げられている。

• associative dialgebra
• alternative dialgebra [Liu05]
• Jordan dialgebra [VF08]

Dialgebra や, その他 Loday が定義している代数の cohomology について, Gerstenhaber structure や Deligne conjecture の類似なども考えられている。Majumdar と Mukherjee の [MM04] や Yau の [Yau] である。

Dialgebra や conformal algebra に様々な「形容詞」がついたものが, Kolesnikov の [Kol08] で考えられている。

Loday と Ronco [LR04] は, 更に演算を加えた trialgebra という構造も定義している。

• associative trialgebra

References

[Kol08]

P. S. Kolesnikov. “Varieties of dialgebras, and conformal algebras”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 49.2 (2008), pp. 322–339. arXiv: math/0611501. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0026-8.

[KP11]

Olga Kravchenko and Michael Polyak. “Diassociative algebras and Milnor’s invariants for tangles”. In: Lett. Math. Phys. 95.3 (2011), pp. 297–316. arXiv: 1011.0117. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-010-0459-4.

[KV13]

P. S. Kolesnikov and V. Yu. Voronin. “On special identities for dialgebras”. In: Linear Multilinear Algebra 61.3 (2013), pp. 377–391. arXiv: 1201.5179. url: https://doi.org/10.1080/03081087.2012.686108.

[Liu05]

Dong Liu. “Steinberg-Leibniz algebras and superalgebras”. In: J. Algebra 283.1 (2005), pp. 199–221. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.08.005.

[Lod01]

Jean-Louis Loday. “Dialgebras”. In: Dialgebras and related operads. Vol. 1763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001, pp. 7–66. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45328-8_2.

[LR04]

Jean-Louis Loday and Marı́a Ronco. “Trialgebras and families of polytopes”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 369–398. arXiv: math/ 0205043. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/346/06296.

[MM04]

Anita Majumdar and Goutam Mukherjee. “Dialgebra cohomology as a \(G\)-algebra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.6 (2004), pp. 2443–2457. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03387-7.

[VF08]

Raúl Velásquez and Raúl Felipe. “Quasi-Jordan algebras”. In: Comm. Algebra 36.4 (2008), pp. 1580–1602. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870701865996.

[Yau]

Donald Yau. Gerstenhaber structure and Deligne’s conjecture for Loday algebras. arXiv: math/0606202.