Connes-Moscovici Characteristic Map

Connes と Moscovici が [CM98] で Hopf-cyclic cohomology を導入した動機の一つは, 群や Lie algebra のコホモロジーの非可換版と, それを用いた特性類の定義だった。

Connes-Moscovici characteristic map は, 元々は Hopf algebra \(H\) と \(H\)-module algebra \(A\) に対し, \(A\) の cyclic cohomology から \(H\) の Hopf-cyclic cohomology への写像として定義されていたが, Hopf-cyclic cohomology が様々に拡張されるのに合せ, 拡張されている。 例えば, 以下のようなものがある。

• Connes-Moscovici の写像の双対版, つまり \(H\)-comodule algebra \(A\) に対し, \(A\) の cyclic homology から \(H\) の Hopf-cyclic homology への写像 (Khalkhali と Rangipour の [KR02])
• \(\times \)-Hopf algebra への拡張 (Hassanzadehの [Has14])
• Hopf-dihedral homology への拡張 (Kaygun と Sütlü [KS])

Connes-Moscovici characteristic map の性質としては Menichi によるものがある。 彼は, [Men04] Hopf algebraの Hopf-cyclic cohomology は次数 \(-2\) の Lie bracket を持つことを示しているが, [Men11] で Connes-Moscovici characteristic map が Lie algebra homomorphism であることを確かめてている。

References

[CM98]

A. Connes and H. Moscovici. “Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem”. In: Comm. Math. Phys. 198.1 (1998), pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.

[Has14]

Mohammad Hassanzadeh. “On cyclic cohomology of \(\times \)-Hopf algebras”. In: J. K-Theory 13.1 (2014), pp. 147–170. arXiv: 1203.2388. url: http://dx.doi.org/10.1017/is013011021jkt246.

[KR02]

M. Khalkhali and B. Rangipour. “A new cyclic module for Hopf algebras”. In: \(K\)-Theory 27.2 (2002), pp. 111–131. arXiv: math/0010153. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1021193729183.

[KS]

A. Kaygun and S. Sütlü. Hopf-dihedral (co)homology and \(L\)-theory. arXiv: 1511.08937.

[Men04]

Luc Menichi. “Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras”. In: \(K\)-Theory 32.3 (2004), pp. 231–251. arXiv: math/0311276. url: https://doi.org/10.1007/s10977-004-0480-4.

[Men11]

Luc Menichi. “Connes-Moscovici characteristic map is a Lie algebra morphism”. In: J. Algebra 331 (2011), pp. 311–337. arXiv: 1002.1771. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.12.025.