Semigroup や monoid の表現論

Margolis と Steinberg らの [Alm+; MS] によると, semigroup の表現論の基本的な部分は, Clifford と Munn と Preston [CP61] により研究されたようである。

表現論の目的は, 表現を調べることにより元の代数的構造に関する情報を得ることであるが, semigroup や monoid については, 表現論の結果を semigroup や monoid の構造の研究を調べることへの応用はあまり見つかっていなかったようである。

ただ, Putcha の仕事 [Put89; Put94; Put95; OP91] をきっかけに, semigroup や monoid の表現論の応用も考えられているようである。

その後, Bidigare と Hanlon と Rockmore [BHR99] の hyperplane arrangement 上の random walk の結果を拡張するためには semigroup の表現が重要であることを, K.S. Brown [BD98; Bro00] が発見した。 Real hyperplane arrangement の face poset が matroid product で left regular band になるからである。

• hyperplane arrangement 上の random walk

References

[Alm+]

Jorge Almeida, Stuart Margolis, Benjamin Steinberg, and Mikhail Volkov. Representation Theory of Finite Semigroups, Semigroup Radicals and Formal Language Theory. arXiv: math/0702400.

[BD98]

Kenneth S. Brown and Persi Diaconis. “Random walks and hyperplane arrangements”. In: Ann. Probab. 26.4 (1998), pp. 1813–1854. url: http://dx.doi.org/10.1214/aop/1022855884.

[BHR99]

Pat Bidigare, Phil Hanlon, and Dan Rockmore. “A combinatorial description of the spectrum for the Tsetlin library and its generalization to hyperplane arrangements”. In: Duke Math. J. 99.1 (1999), pp. 135–174. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-99-09906-4.

[Bro00]

Kenneth S. Brown. “Semigroups, rings, and Markov chains”. In: J. Theoret. Probab. 13.3 (2000), pp. 871–938. arXiv: math/0006145. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007822931408.

[CP61]

A. H. Clifford and G. B. Preston. The algebraic theory of semigroups. Vol. I. Mathematical Surveys, No. 7. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1961, pp. xv+224.

[MS]

Stuart W. Margolis and Benjamin Steinberg. Quivers of monoids with basic algebras. arXiv: 1101.0416.

[OP91]

Jan Okniński and Mohan S. Putcha. “Complex representations of matrix semigroups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 323.2 (1991), pp. 563–581. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001545.

[Put89]

Mohan S. Putcha. “Monoids on groups with \(BN\)-pairs”. In: J. Algebra 120.1 (1989), pp. 139–169. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(89)90193-2.

[Put94]

Mohan S. Putcha. “Classification of monoids of Lie type”. In: J. Algebra 163.3 (1994), pp. 636–662. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1994.1035.

[Put95]

Mohan S. Putcha. “Monoids of Lie type”. In: Semigroups, formal languages and groups (York, 1993). Vol. 466. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1995, pp. 353–367.