Presentations of Monoids

群を生成元と関係式で表すことを群の表示というが, monoid に対しても表示を考えることができる。 Squier らの [SOK94] など。 Squier は, cell complex を用いることを考えている。

Henry と Mimram の [HM22] によると, monoid の表示を変換する方法として Tietze transformation が基本的なようである。 彼等は Tietze の論文 [Tie08] と Lydon と Schupp の combinatorial group theory の本 [LS01] の Chapter II を参照している。

• Tietze transformation

この Henry と Mimram の論文の section 1 は, Tietze transformation を含めた monoid の presentation に関することが簡潔にまとめられていてよい。

Henry と Mimram は, monoid の presentation の category を定義し, 同型な monoid を与える morphism を weak equivalence とする model category の構造が存在することを示している。

また, small category は quiver の category での monoid object であることから, monoid の presentation を small category の presentation に一般化することもできる。 Gaussent と Guiraud と Malbos の [GGM15] を見るとよい。そこでは, 高次の圏の presentation に関する文献として, Burroni の [Bur93] と Street の [Str76] が挙げられている。

• small category の presentation

実際, Henry と Mimram の [HM22] の動機は, category や algebraic theory や operad に Tietze transformation を一般化することのようである。

一般の monoidal category で monoid を generator と relation で表わすのは難しい。ただ free monoid を構成できる場合もある。Vallette は, [Val09] で Abelian monoidal category での free monoid の構成について述べている。

References

[Bur93]

Albert Burroni. “Higher-dimensional word problems with applications to equational logic”. In: Theoret. Comput. Sci. 115.1 (1993). 4th Summer Conference on Category Theory and Computer Science (Paris, 1991), pp. 43–62. url: http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(93)90054-W.

[GGM15]

Stéphane Gaussent, Yves Guiraud, and Philippe Malbos. “Coherent presentations of Artin monoids”. In: Compos. Math. 151.5 (2015), pp. 957–998. arXiv: 1203.5358. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X14007842.

[HM22]

Simon Henry and Samuel Mimram. “Tietze equivalences as weak equivalences”. In: Appl. Categ. Structures 30.3 (2022), pp. 453–483. arXiv: 2101 . 03591. url: https://doi.org/10.1007/s10485-021-09662-w.

[LS01]

Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial group theory. Classics in Mathematics. Reprint of the 1977 edition. Springer-Verlag, Berlin, 2001, pp. xiv+339. isbn: 3-540-41158-5.

[SOK94]

Craig C. Squier, Friedrich Otto, and Yuji Kobayashi. “A finiteness condition for rewriting systems”. In: Theoret. Comput. Sci. 131.2 (1994), pp. 271–294. url: http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(94)90175-9.

[Str76]

Ross Street. “Limits indexed by category-valued \(2\)-functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 8.2 (1976), pp. 149–181. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(76)90013-X.

[Tie08]

Heinrich Tietze. “Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten”. In: Monatsh. Math. Phys. 19.1 (1908), pp. 1–118. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01736688.

[Val09]

Bruno Vallette. “Free monoid in monoidal abelian categories”. In: Appl. Categ. Structures 17.1 (2009), pp. 43–61. arXiv: math/ 0411543. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9130-y.