Poincare-Birkoff-Witt theorem

Lie algebra に関する重要な定理として, Poincaré-Birkoff-Witt の定理がある。これについては, Bergman の [Ber78] を見るとよい。より一般的な, free associative algebra での cancellation に関する命題 “Diamond Lemma” の応用として述べてある。 次数付きでない場合しか扱っていないし, restricted Lie algebra の場合は Exercise になっているが, 次数付きの場合と restricted Lie algebra の場合を自分で考えるのはよい練習問題である。 それが面倒な人は, May と Ponto の [MP12] の Chapter 22 と 23 を見るとよい。

• Lie algebra に対する Poincaré-Birkoff-Witt の定理
• graded Lie algebra に対する Poincaré-Birkoff-Witt の定理
• restricted Lie algebra に対する Poincaré-Birkoff-Witt の定理

Poincaré-Birkoff-Witt の定理と関連した Poincaré の仕事について, [TT99] に歴史的な考察がある。それによると, 一般の理解より Poincaré の役割は大きかったようである。

拡張や類似の定理は様々な代数的構造に対して証明されている。 そこで使われているテクニックなどについては, Shepler と Witherspoon の [SW15] にまとめられている。

まず, Lie algebraの 一般化として考えるべきなのは, quantum group だろう。これについては, 以下のような試みがある。

• \(q\)-deformed universal enveloping algebra に対する Poincaré-Birkhoff-Witt theorem (Rosso の [Ros89], Yamane の [Yam89], Lusztig の [Lus90], R. Berger の [Ber92] など)

より一般の Hopf algebra に対しても, 色々調べられている。Helbig の [Hel] によると, pointed Hopf algebra に対しては, Kharchenko の [Kha99] がある。 Ion の [Ion12] は central Hopf algebra coradical を持つ Hopf algebra に対する Poincaré-Birkhoff-Witt を得ている。Loday と Ronco [LR06] は cofree Hopf algebra への Poincaré-Birkoff-Witt と Milnor-Moore theorem の拡張を得ている。

Operad を用いた “generalized bialgebra” に対する formulation もある。Loday の [Lod08] や Leroux の [Ler] など。

Braided bialgebra については, Ardizzoni の [Ard11; Ard12] がある。最近では, Westerland [Wes] が braided operad を導入し, braided Hopf algebra の Poincaré-Birkhoff-Witt theorem を証明している。Westerland は Milnor-Moore theorem についても考えている。

Lie algebroid の inclusion に関する relative Poincaré-Birkoff-Witt とも言えるものを考えているのは, Calaque の [Cal14] である。

圏論的な枠組みとしては, まず Mikhalev と Shestakov の [MS14], そして, それを元にした Dotsenko と Tamaroff [DT21] がある。

Dotsenko は, その枠組みを用いて [Dot20] で tridendriform algebra や post-Lie algebra の場合を証明している。

Tamaroff は Khoroshkin と共に [KT23] で \(L_{\infty }\)-algebra の文脈での Poincaré-Birkhoff-Witt theorem も示している。

References

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[Ard12]

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[Ber78]

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[Wes]

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