Cactus Groups

種数 \(0\) の 実代数曲線の moduli space の Deligne-Mumford compactification \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}(\R )}\) の 基本群が, braid 群と似た性質を持つことを, 最初に発見したのは誰だろうか?

Cactus group という名前を付けたのは Henriques と Kamnitzer [HK06] だと思うが, そこでは, Devadoss の [Dev99] と Davis, Januskiewicz, Scott の [DJS03] が挙げられているので, 恐らくこの2つの論文で調べられたのが最初だろう。 文献としては, Henriques と Kamnitzer の論文の他に, Henriques の短かい 解説 [Hen] がある。

• cactus group \(J_n\) と pure cactus group \(PJ_n\)

この名前は, \(\mathcal {M}_{0,n}(\R )\) の元を円周 (\(\RP ^1\)) 上に\(n\)個の marked point が付いたものとみなしたとき, \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}(\R )}\) の元がそれらをいくつか接するようにくっつけたもので, ウチワサボテンのような形をしているからである。

文献として登場したのは, Devadoss や Davis, Januskiewicz, Scott の論文の方が先であるが, 一般化したのは Henriques と Kamnitzer の仕事に依る, と思う。 Henriques と Kamnitzer の発見は, braid group が braided monoidal category と関係しているように, cactus group が coboundary category と関係していることであるが, Azenhas, Feller, Torres の [AFT] によると, そのアイデアは Berenstein が Lie algebra の表現の crystal の成す category に commutator を定義しようとしたことに依る, らしい。 文献は挙げられていないが。

Braid 群が, 対称群を Coxeter group に一般化することで Artin 群に一般化されるように, cactus group を一般化することができる。 既に Davis, Januskiewicz, Scott の [DJS03] で考えられている。 名前は mock reflection group であるが。

Braid を閉じると link ができるように, cactus を閉じてできたものを Mostovoy と Rincón-Prat [MR] は cactus doodle と呼んで調べている。

• cactus doodle

Torres [Tor24] は virtual cactus group を定義している。

• virtual cactus group

References

[AFT]

Olga Azenhas, Mojdeh Tarighat Feller, and Jacinta Torres. Symplectic cacti, virtualization and Berenstein-Kirillov groups. arXiv: 2207.08446.

[Dev99]

Satyan L. Devadoss. “Tessellations of moduli spaces and the mosaic operad”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 91–114. arXiv: math/9807010.

[DJS03]

M. Davis, T. Januszkiewicz, and R. Scott. “Fundamental groups of blow-ups”. In: Adv. Math. 177.1 (2003), pp. 115–179. arXiv: math/0203127. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00075-6.

[Hen]

André Henriques. An action of the cactus group. arXiv: 0705.3000.

[HK06]

André Henriques and Joel Kamnitzer. “Crystals and coboundary categories”. In: Duke Math. J. 132.2 (2006), pp. 191–216. arXiv: math/0406478. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13221-0.

[MR]

Jacob Mostovoy and Andrea Rincón-Prat. Cactus Doodles. arXiv: 2203.08742.

[Tor24]

Jacinta Torres. “The virtual cactus group and Littelmann paths”. In: Electron. J. Combin. 31.1 (2024), Paper No. 1.14, 13. arXiv: 2302.11560. url: https://doi.org/10.37236/12034.