Brown-Peterson Spectrum

Brown-Peterson spectrum とは, Brown と Peterson の仕事 [BP66] にちなんで名付けられた spectrum である。 記号でも \(\mathrm {BP}\) と書かれる。

ただ, 現在では \(\mathrm {MU}\) を素数 \(p\) で局所化しときに直和成分として得られる spectrum のことを \(\mathrm {BP}\) で表すのが普通だと思う。この直和分解は Quillen [Qui69] による発見 である。

\(\mathrm {BP}\) は, その係数環が \(\mathrm {deg} v_{n}=2p^{n}-2\) である生成元 \(v_{n}\) を用いて \[ \mathrm {BP}_{*}\cong \Z _{(p)}[v_{1},v_{2},\ldots ] \] と表される ring spectrum である。

Brown と Peterson は, integral Eilenberg-Mac Lane spectrum から Postnikov tower により構成しているので, \(p\)-local な spectrum ではなく, 正確には Quillen のものとは異なる。 Brown-Peterson の構成で得られた spectrum を \(p\) で局所化すると Quillen のものが得られそうであるが, その証明が Boardman の [Boa79] に書かれていることを, 2024年10月末に訪問した柏原氏に教えてもらった。

\(\mathrm {BP}\) の構成については, 他にも Priddy [Pri80] による sphere spectrum に胞体を貼り付けて作るもの, などある。 これも柏原氏に教えてもらった。

\(\mathrm {MU}\) は \(E_{\infty }\)-ring spectrum の構造を持つが, \(\mathrm {BP}\) の ring spectrum の構造はかなり複雑である。

2010年頃までの状況については, Niles Johnson と Noel の [JN10] の Introduction にまとめられている。 この MathOverflow の質問によると, \(\mathrm {BP}\) が \(E_{\infty }\)-ring spectrum の構造を持つかどうか, という問題を提示したのは, May [May75] のようである。

Basterra と Mandell [BM13] により \(\mathrm {MU}\) の積と合う \(E_{4}\)-ring structure を持つことは示されている。その後, \(2\)-local な \(\mathrm {BP}\) が \(n\ge 12\) に対し \(E_{n}\) 構造を持たないことは, Tyler Lawson [Law18] により示された。 その奇素数版として, Senger [Sen] が, 奇素数 \(p\) では, \(\mathrm {BP}\) は \(E_{2(p^2+2)}\)-ring spectrum の構造を持たないことを示している。

References

[BM13]

Maria Basterra and Michael A. Mandell. “The multiplication on BP”. In: J. Topol. 6.2 (2013), pp. 285–310. arXiv: 1101.0023. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts032.

[Boa79]

J. M. Boardman. “Original Brown-Peterson spectra”. In: Algebraic topology, Waterloo, 1978 (Proc. Conf., Univ. Waterloo, Waterloo, Ont., 1978). Vol. 741. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1979, pp. 355–372.

[BP66]

Edgar H. Brown Jr. and Franklin P. Peterson. “A spectrum whose \(Z_{p}\) cohomology is the algebra of reduced \(p^{th}\) powers”. In: Topology 5 (1966), pp. 149–154. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(66)90015-2.

[JN10]

Niles Johnson and Justin Noel. “For complex orientations preserving power operations, \(p\)-typicality is atypical”. In: Topology Appl. 157.14 (2010), pp. 2271–2288. arXiv: 0910.3187. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2010.06.007.

[Law18]

Tyler Lawson. “Secondary power operations and the Brown-Peterson spectrum at the prime 2”. In: Ann. of Math. (2) 188.2 (2018), pp. 513–576. arXiv: 1703.00935. url: https://doi.org/10.4007/annals.2018.188.2.3.

[May75]

J. P. May. “Problems in infinite loop space theory”. In: Conference on homotopy theory (Evanston, Ill., 1974). Vol. 1. Notas Mat. Simpos. Soc. Mat. Mexicana, México, 1975, pp. 111–125.

[Pri80]

Stewart Priddy. “A cellular construction of BP and other irreducible spectra”. In: Math. Z. 173.1 (1980), pp. 29–34. url: https://doi.org/10.1007/BF01215522.

[Qui69]

Daniel Quillen. “On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 1293–1298. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12401-8.

[Sen]

Andrew Senger. The Brown-Peterson spectrum is not \(E_{2(p^2+2)}\) at odd primes. arXiv: 1710.09822.