Topology of Configuration Spaces

Configuration space とは, ある位相空間 \(M\) の中の互いに異なる \(n\) 個の点の組の集合 \(\mathrm {Conf}_n(M)\) に \(M^n\) の部分空間としての位相を入れたものである。 Fadell と Neuwirth の [FN62] を始めとして, 古くから \(F(M,n)\) という記号が使われてきたが, \(F\) という記号は他と重複する場合が多いので, ここでは \(\mathrm {Conf}\) という記号を使う。

Configuration space に関する本としては, Fadell と Husseini の [FH01] がある。

代数的トポロジーでは, configuration space と言えば, 多重ループ空間のモデルへの応用が有名であるが, 他にも様々な数学の分野に現われる。例えば, 重根を持たない多項式の成す空間など。

基本は, やはり Euclid 空間の中の互いに異なる点の成す configuration space である。

• Euclid 空間の configuration space

多重ループ空間のモデルを構成するときに使われるのは, labeled configuration space である。つまり別の空間 \(X\) でラベル付けされた点の成す configuration space であるが, 正確には \(\mathrm {Conf}_n(M)\times _{\Sigma _n}X^n\) で定義される。

• labeled configuration space

Palmer [Pal13; MP15] は, 交代群で割った \(\mathrm {Conf}_n(M)\times _{A_n}X^n\) を考え, oriented (labeled) configuration space と呼んでいる。

他にも, 対称群を適当な部分群に制限して考えているものとして, Kupers, Miller, Tran の [KMT16] がある。\(v_1+\cdots +v_m=n\) となる \(\bm {v}=(v_1,\ldots ,v_m)\) を用いて \(\mathrm {Conf}_{n}(M)\) を \(\Sigma _{v_1}\times \cdots \times \Sigma _{v_m}\) で割った空間を考えている。

集合 \(\{1,2,\ldots ,n\}\) の partition lattice \(\Pi _{n}\) の upward closed subset \(U\) に対する一般化 \(\mathrm {Conf}_{U}(X)\) が Petersen [Pet20] により考えられている。そして, Bendersky と Gitler の構成 [BG91] の一般化を得ている。

また, 多重ループ空間のモデルでは operad を成す little cube の空間, つまり立方体の中に辺が元に辺と平行になるように小立方体を配置したもののなす空間, の方が便利である。 もちろん立方体以外にも, 小さな disk を大きな disk の中に入れたものでも同じことができる。

• little cube の成す空間や関連した空間

Configuration space を代数的トポロジーで研究するためには, まずそのホモロジーを知りたい。

• configuration space のホモロジー

\(\R ^2\) の configuration space の基本群は pure braid 群で, 対称群による商空間の基本群が braid 群である。

• braid 群

ホモトピー群についてどれぐらい分っているかについては, Kupers と Miller の [KM18] を見るとよい。 そこで用いられているのは, FI-objectとco-FI-object の概念である。 有限集合の同型類と単射の成す圏 \(\category {FI}\) から圏 \(\bm {C}\) への functor を \(\bm {C}\)での FI-object と言い, contravariant functor を co-FI-object というが, configuration space の列 \(\{\mathrm {Conf}_n(M)\}_{n\ge 0}\) は, 位相空間の圏での co-FI-object, つまり co-FI-spaceとみなすことができる。 これは configuration space への対称群の作用に加え, 点を減らす操作も合せて考えるということである。 このことは, FI-object の概念を導入した Church, Ellenberg, Farb の論文 [CEF15] で既に述べられている。

• configuration space は位相空間の圏の co-FI-object

よって, そのホモトピー群は co-FI-アーベル群, そのコホモロジーは FI-module になる。この視点は, configuration space のコホモロジー を調べるときに有用であり, Church, Ellenberg, Farb [CEF15]の後何人かの人が用いている。 例えば, Nagpal の [Nag] や Ellenberg と Wiltshire-Gordon の [EW] など。

同じように, configuration space 全体を functor として考えようという提案として, Ben Knudsen の [Knu] がある。 orbit configuration space など, configuration space の変種も統一して扱えるようである。

• projection space

他の不変量も, 当然調べられている。例えば, cofiguration space の topological complexity は, 工学との関係, より正確には robot motion planning との関係で計算されている。

• topological complexity と motion planning

代数的トポロジーの視点からは, もちろん, ホモトピー型が最も興味のあるところである。

• configuration space のホモトピー型

Configuration space に関連した写像の問題として, \(k\)-regular embedding がある。

• Euclid 空間への \(k\)-regular embedding

多様体に metric が与えられているとき, 各点に等しい電荷を与え平衡状態になるのはどのような場合かという問題も面白そうである。 これについては, Robert Brown と James White の [BW81] で調べられている。

一般の多様体 \(M\) の configuration space \(\mathrm {Conf}_k(M)\) には, 対称群だけでなく \(M\) の同相群 (微分同相群) が作用する。Euclid 空間の場合, affine 変換群の作用が考えられる。それらの群の作用で割った空間を考える場合もある。Euclid 空間の場合に, 向きを保つ affine 変換群で割った空間の基本群を考えているのが, Suárez と Serrato [Suá09] である。

微分同相群との関係では, 曲面上の \(C^{\infty }\) 関数の成す空間への微分同相群の作用による Morse 関数の orbit との関係を Maksymenko [Mak08] が調べている。 その曲面の内部の configuration space のある covering space とホモトピー同値になるらしい。

群の作用に関係したものとしては, orbit configuration space という変種がある。群 \(G\) が位相空間 \(X\) に作用するとき, \(X^n\) の中で座標が異なるだけでなく, 各座標の \(G\)-orbit が異なるという条件をみたす点を集めたものである。

• orbit configuration space

群の作用を持つ多様体に関係したものとしては orbifold がある。Bailes と Tran [BT] は, orbifold \(X\) に対し, 新しい orbifold \(\mathrm {Conf}_{n}(X)\) を構成し, その rational homology の stability について考察している。 ただし, そこで用いられている orbifold は, topological groupoid として考えた orbifold であり, そのコホモジーも topological groupoid としての分類空間 のコホモロジーである。彼等の定義した orbifold の configuration space も, そのまま topological groupoid に適用できる。

• topological groupoid の configuration space

Lie groupoid に対しては, Roushon [Rou21] によるものがある。

境界を持つ多様体の場合は, 境界の点の個数と内部の点の個数を指定した configuration space を考えることができる。Campos, Idrissi, Lambrechts, Willwacher の [Cam+b] で調べられている。

• configuration space of manifold with boundary

Campos らは [Cam+a] で, framed version を考えている。

• smooth manifold の framed configuration space

通常の configuration space \(\mathrm {Conf}_{k}(M)\) の点 \((x_{1},\ldots ,x_{k})\) に, 各 \(i\) について \(T_{x_{i}}M\) の oriented orthonormal basis という framing に関する情報を付け加えたものである。

多様体の configuration space には, 他にも多様体の幾何学的構造を用いて, filtration を定義することもできる。例えば, Berceanu と Parveen [BP12] は複素射影空間の場合に, 何次元の subspace を張るかにより filtration を定義している。同様の filtration は Euclid 空間でも考えられる。Manfredini と Settepanella [MS14b; MS14a] は Grassmann 多様体 の場合を考えている。

代数幾何学的類似もいろいろあるが, トポロジーに近いものとして algebraic cycle の成す空間がある。 Lawson [Law89] により導入された。

• Lawson homology とその類似

最近では, Farb ら [FWW19] が, \(0\)-cycle の成す空間を導入し調べている。可微分多様体の場合であるが。

点を “particle” と考えれば, configuration space が理論物理に現われることは自然だろう。例えば, Berry と Robbins [BR97] は, ある物理学の問題から対称群 \(\Sigma _n\) の作用と可換な連続写像 \[ f_n : \mathrm {Conf}_n(\R ^3) \longrightarrow U(n)/U(1)^n \] を構成する, という問題を提起した。この問題については, Atiyah など [AS02; EN01; AB02; AS03] が調べている。まずは Atiyah の lecture note [Ati] をまず読んでみるのがよいと思う。背景だけでなく, hyperbolic version や Lie group version などついても書いてある。

その hyperbolic version (§1.5) では, \(\Ha ^3\) の \(n\) 点から \(n\) 個の多項式を定義し, それらが1次独立になる, という予想を立てている。Malkoun [Mal16] は, その4点の場合を証明したと言っている。

数理物理に関連した話題としては, Kontsevich の Poisson manifold の deformation quantization [Kon03] に使われていることにも注意すべきだろう。そこでは hyperbolic metric を持つ上半平面の configuration space の compactification 上の積分が使われている。

• configuration space の compactification
• configuration space integral

Configuration space 上の積分の性質は, Ionescu が [Ion] で調べている。Configuration space 上の積分で表わされるものとしては, Bott と Cattaneo [BC98; BC99] の homology \(3\)-sphere の不変量や Bott と Taubes [BT94] の knot の空間の cohomology 類などがある。解説としては Volic の [Vol07] などがある。

Gauthier [Gau] は Kontsevich integral を考えるために, chord で decoration された configuration space を考えている。

物理に関係した configuration space としては, 他にも Bökstedt と Romão [BR] の Riemann 面上のdivisor 空間がある。 対称積の部分空間として定義されている。

• Riemann 面上の divisor の空間

Configuration space の universal cover のモデルとして Bridgeland による triangulated category の stability condition の成す空間 [Bri07] がある。Richard Thomas による [Tho06] と Khovanov と Seidel が [KS02] で調べた derived category (の変種) の stability conditionの成す空間 (の連結成分) は configuration space \(\mathrm {Conf}_j(\bbC )\) の universal cover になるらしい。

• stability conditionの成す空間

Bridgeland は, Richard Thomas の結果を \(\SU (2)\) の 有限部分群に対して拡張して考えることを [Bri09] で行なっている。それらの場合も universal cover になるという 予想は, Brav と Hugh Thomas [BT11] によって証明されたようである。

代数幾何学的には, 射影空間の中の一般の位置にある点の成す空間が意味のあるものになる。 どのような問題と関係して いるかについては, Babson と Gunnells と Scott の [BGS02] の Introduction を見るとよい。

多様体の上の点ばかりではなく, 他の空間でも configuration space は考えられる。\(1\)次元 cell complex とみたグラフの configuration space は, Ghrist らが工学の問題と関連づけて調べている。

• グラフの configuration space

グラフと関係した話題としては, Eastwood と Huggett [EH07] によるグラフの chromatic polynomial を Euler 標数として持つ多様体の構成がある。 複素射影空間の configuration space を用いて構成されている。

• graphic configuration space

似たような構成としては, Galashin [Gal24] により導入された, poset により定義される configuration space の変種がある。

• poset configuration space

多様体の間に写像 \(f : M \to N\) があったとき, “relative な” configuration space を考えることもできる。 \[ \widetilde {\Delta }_k(f) = \mathrm {Conf}_k(M)\cap (f^k)^{-1}(\Delta ) \] Braun の [Bra08] では, \(k\)-tuples of multiple points と呼ばれている。

Configuration space が 確率論の視点からも調べられていることは, 確率論サマースクール 2014 を覗いて知った。また多様体の “configuration space” の上の解析なども調べられているようである。ただし, このときの configuration space は, 点の個数を固定していないもので, Ran space のことのようである。

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