Homotopy Types of Configuration Spaces

Configuration space のホモトピー型について, Euclid 空間の場合は, braid arrangement の (高次元化の) complement と思うことができ, Salvetti complex を使うことができる。 より一般の空間の configuration space 場合も, Salvetti complex の構成を拡張することはできる。 また graph (\(1\)次元CW複体) の configuration space の 場合も combinatorial model が考えられている。

• graph の configuration space

グラフの場合も Salvetti complex の類似が構成できるが, それらを統一して扱う枠組みとして cellular stratification という概念を [Tam18] で提案してみた。

Wiltshire-Gordon [Wil19] は, 単体的複体の場合の combinatorial model を提案している。

有理ホモトピー型については, 多様体の場合に, その dg algebra model を作ろうという試みがいくつかある。\(\bbC \) 上の smooth projective variety の場合は, Kriz が [Křı́94] で Fulton と MacPherson の [FM94] を拡張する形で構成している。Totaro の [Tot96] は, 独立に同じモデルを発見したものと言える。 より一般の多様体については, Lambrechts と Stanley の [LS08] がある。

多様体の configuration space のホモトピー型については, 元の多様体のホモトピー型で決まるだろう, という予想があったらしいが, 反例が発見されている。この問題は Cohen と Klein と Sullivan の Chas-Sullivan product のホモトピー不変性の研究 [CKS08] とも関係している。

• \(3\)次元のレンズ空間 \(L^3_{7,1}\) と \(L^3_{7,2}\) はホモトピー同値であるが, 2点の configuration space \(\mathrm {Conf}_{2}(L^3_{7,1})\) と \(\mathrm {Conf}_{2}(L^3_{7,2})\) は, ホモトピー同値ではない。[LS05]
• \(\Omega \mathrm {Conf}_{n}(M)\) は, \((M,\partial M)\) のホモトピー関手。つまり, そのホモトピー型は, \((M,\partial M)\) のホモトピー型にしか依らない。 [Lev95]
• 何回か (\(n\)による数だけ) suspension すれば, \(\mathrm {Conf}_{n}(M)\) はホモトピー関手になる [AK04]。 よって cohomology は \(M\) のホモトピー型で決まる。
• \(2\)連結な多様体に対しては, \(\mathrm {Conf}_{2}(M)\) はホモトピー関手。 [Lev95]

多様体 \(M\) と \(\R \) の直積になっている空間については, Jourdan [Jou] の結果がある。

また, Klang と Yeakel の [KY] では, より確からしい予想として, 次が書かれている: smooth compact manifold \(M\) と \(N\) が同相であるための必要十分条件は, 全ての \(n\) に対し \(M^{n}\) と \(N^{n}\) が isovariant にホモトピー同値であることである。

References

[AK04]

Mokhtar Aouina and John R. Klein. “On the homotopy invariance of configuration spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), 813–827 (electronic). arXiv: math / 0310483. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2004.4.813.

[CKS08]

Ralph L. Cohen, John R. Klein, and Dennis Sullivan. “The homotopy invariance of the string topology loop product and string bracket”. In: J. Topol. 1.2 (2008), pp. 391–408. arXiv: math/0509667. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtn001.

[FM94]

William Fulton and Robert MacPherson. “A compactification of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.1 (1994), pp. 183–225. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946631.

[Jou]

Jean-Philippe Jourdan. Invariance homotopique de certains espaces de configurations. arXiv: math/0407002.

[Křı́94]

Igor Křı́ž. “On the rational homotopy type of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.2 (1994), pp. 227–237. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946581.

[KY]

Inbar Klang and Sarah Yeakel. Isovariant homotopy theory and fixed point invariants. arXiv: 2110.07853.

[Lev95]

Norman Levitt. “Spaces of arcs and configuration spaces of manifolds”. In: Topology 34.1 (1995), pp. 217–230. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)E0012-9.

[LS05]

Riccardo Longoni and Paolo Salvatore. “Configuration spaces are not homotopy invariant”. In: Topology 44.2 (2005), pp. 375–380. arXiv: math/0401075. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2004.11.002.

[LS08]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “A remarkable DGmodule model for configuration spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.2 (2008), pp. 1191–1222. arXiv: 0707.2350. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.1191.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.

[Tot96]

Burt Totaro. “Configuration spaces of algebraic varieties”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 1057–1067. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(95)00058-5.

[Wil19]

John D. Wiltshire-Gordon. “Models for configuration space in a simplicial complex”. In: Colloq. Math. 155.1 (2019), pp. 127–139. arXiv: 1706.06626. url: https://doi.org/10.4064/cm7331-5-2018.